純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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657: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/21(土) 09:11:42.32 ID:sEkgudR9

>>655-656
ふっふ、ほっほ

>>”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される
>共通集合って書いてあるじゃんｗ

その通りだよ。やろうとしているのは、カントールの順序数理論の 公理的集合論による構築なのだから
「順序数」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
を百回音読してね
結論は、”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される”だよ
これを、(例えば)ZFC公理系で実現することだ

>>Set theorists will sometimes write "⋂M"
>って書かれてるけど、「範囲が書かれてない！　尽くされてるか保証が無い！」って発狂しないのかい？ｗ

そこ君のつまみ食いだろｗ 全文引用するから、百回音読してね
Intersection (set theory) https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)
Arbitrary intersections
Further information: Iterated binary operation
The most general notion is the intersection of an arbitrary nonempty collection of sets.
If M is a nonempty set whose elements are themselves sets, then x is an element of the intersection of M if and only if for every element A of M, x is an element of A.
In symbols:
(x∈⋂A∈M A)⇔(∀A∈M, x∈A).
The notation for this last concept can vary considerably. Set theorists will sometimes write "⋂M", while others will instead write "⋂A∈M A".
The latter notation can be generalized to "⋂i∈I Ai", which refers to the intersection of the collection {Ai:i∈I}.
Here I is a nonempty set, and Ai is a set for every i∈I.
In the case that the index set I is the set of natural numbers, notation analogous to that of an infinite product may be seen:
⋂i=1〜∞ Ai.
When formatting is difficult, this can also be written "A1∩A2∩A3∩⋯".
This last example, an intersection of countably many sets, is actually very common; for an example, see the article on σ-algebras.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/657

666: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/06/21(土) 11:17:34.60 ID:sEkgudR9

>>663
>後者関数を定義するには対の公理と和集合の公理が必要。

ふっふ、ほっほ
おっさん、なんも分ってないね （＾＾

まず >>657より
Intersection (set theory) https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)
Arbitrary intersections
Further information: Iterated binary operation

ここで、”Iterated binary operation”に下記のリンクがあるよ
https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_binary_operation
Iterated binary operation
（google 和訳）
反復二項演算
数学において、反復二項演算とは、集合S上の二項演算を、反復適用によってSの有限個の要素の列上の関数へと拡張したものである。 [ 1 ]一般的な例としては、加算演算を総和演算に拡張することや、乗算演算を積演算に拡張することがあげられる。集合論的な演算である和と積など、他の演算も反復されることが多い
Σ、Π、∪、∩

さらに、下記がある（英文に戻す）
If S also is equipped with a metric or more generally with topology that is Hausdorff, so that the concept of a limit of a sequence is defined in S, then an infinite iteration on a countable sequence in S is defined exactly when the corresponding sequence of finite iterations converges. Thus, e.g., if a0, a1, a2, a3, … is an infinite sequence of real numbers, then the infinite product
∏i=0〜∞ ai
is defined, and equal to
lim n→∞ ∏i=0〜n ai,
if and only if that limit exists.
(引用終り)

つまり、集合論の公理として 二項演算で ∪、∩ を定義するのは良い
また、その有限の繰返しとして、 ∪と∩ を使うのも良い

しかし、∪と∩ を （可算）無限回繰り返すのは、”ご注意を！”ってことだよ
やれやれ、子供に教えている気分だなｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/666

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