純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）20

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657(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/21(土) 09:11:42.32 ID:sEkgudR9(1/7) AAS
>>655-656
ふっふ、ほっほ

>>”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される
>共通集合って書いてあるじゃんｗ

その通りだよ。やろうとしているのは、カントールの順序数理論の公理的集合論による構築なのだから
「順序数」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
を百回音読してね
結論は、”ω を 0 を含み、かつ後続集合によって閉じられたすべての集合の共通集合（したがって包含の意味で最小）として定義することにより実現される”だよ
これを、(例えば)ZFC公理系で実現することだ

>>Set theorists will sometimes write "⋂M"
>って書かれてるけど、「範囲が書かれてない！　尽くされてるか保証が無い！」って発狂しないのかい？ｗ

そこ君のつまみ食いだろｗ全文引用するから、百回音読してね
Intersection (set theory) https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)
Arbitrary intersections
Further information: Iterated binary operation
The most general notion is the intersection of an arbitrary nonempty collection of sets.
If M is a nonempty set whose elements are themselves sets, then x is an element of the intersection of M if and only if for every element A of M, x is an element of A.
In symbols:
(x∈⋂A∈M A)⇔(∀A∈M, x∈A).
The notation for this last concept can vary considerably. Set theorists will sometimes write "⋂M", while others will instead write "⋂A∈M A".
The latter notation can be generalized to "⋂i∈I Ai", which refers to the intersection of the collection {Ai:i∈I}.
Here I is a nonempty set, and Ai is a set for every i∈I.
In the case that the index set I is the set of natural numbers, notation analogous to that of an infinite product may be seen:
⋂i=1〜∞ Ai.
When formatting is difficult, this can also be written "A1∩A2∩A3∩⋯".
This last example, an intersection of countably many sets, is actually very common; for an example, see the article on σ-algebras.

662(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/21(土) 09:57:49.07 ID:sEkgudR9(2/7) AAS
>>657 補足

・天地創造 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A9%E5%9C%B0%E5%89%B5%E9%80%A0
　1日目神は天と地をつくられた・・・ 6日目神は獣と家畜をつくり、神に似せた人をつくられた 7日目神はお休みになった

・さて、やろうとしていることは公理的集合論によるカントールの順序数などの構築だ
　1日目　神は空集合を作られた
　2日目　後者関数を作られた
　3日目　有限順序数を作られた
　4日目　無限公理を作られた。そこから、最初の無限順序数ω （極限順序数）を分離された＊）
　5日目　ωから、カントールの順序数構築された
　6日目　ノイマン宇宙 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
　　　　　を作られた。そこには、実数も含まれる。人は、∩も無限集合に対して使えるようになった
　7日目　数学の神はお休みになった

＊）4日目の無限集合が無限公理で導入された直後に∩を使うのは、如何なものか
　時期尚早でしょう　（＾＾
　目指しているのは、そこで結論も正しいのだが
　公理的に一歩一歩進んでいこうという話だから、先を急ぎすぎてはいけないってことだね　；ｐ）

665(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/21(土) 10:42:35.59 ID:sEkgudR9(3/7) AAS
>>649 戻る
>無限の存在が集合論の他の公理から独立である

これ >>629の "P173 3 無限の存在証明" RIMS講究録
Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化渕野昌 2011 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf

さて、アリストテレスの昔から「無限」は、いろいろ論じられてきた
上記 Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化によれば、Dedekindが無限集合で無限公理は必要ないと考えていたらしい
一方で、カントールや Dedekind以前では、「無限」は集合論の外で論じられていた
”ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など”>>649

カントールは、フーリエ級数の収束を考察する必要から
無限集合論を構築したという。現代数学の視点では
”ポンスレの射影幾何無限遠点や、リーマンの複素平面を球面としたときの北極点など”
すべてを、無限集合論で論じることができるようになったのです

なので、そういう大きな枠組みとして、渕野"3 無限の存在証明"はこれで十分分るのです（＾＾

(参考)
https://www.medieviste.org/2016/08/23/%E3%82%A2%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%86%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%81%A8%E3%80%8C%E7%84%A1%E9%99%90%E3%80%8D/
アリストテレスと「無限」20160823 sxolastikos
(抜粋)
A.W.ムーア『無限その哲学と数学 (講談社学術文庫)』（石村多門訳、講談社、2012）
原著は1990刊。古代ギリシアから現代にいたるまでの「無限」にまつわる思想の展開を追ったもので、哲学史と数学史が交差する興味深い一冊
前半は思想的な通史のまとめ、後半は現代数学での無限の解釈についての概観になっている
前半部分の前半、つまり全体の4分の1で主役となっているのは、なんといってもアリストテレス。プラトンとそれ以前の古代ギリシアの無限論では、無限はつまるところ事物の構造の基礎をなしているという考え方がある程度「共有」されていたというが、それらに対して、そもそも現象と実在の区別を否定するアリストテレスの場合、もしその共有された考え方を保持するなら、無限を時空間の場面において理解する必要に迫られることになる。つまり自然の中に無限なものが存在するかどうかが重要な問題となった、という
では自然界にそのような無限なものは存在するのか。アリストテレスは自然界には「何も無限なものは存在しない」との立場を取るのだが、そこにはジレンマもあって、時間の無限の分割可能性、物質の無限の分割可能性、自然数の連続や空間が無限であるという数学的真理などが立ちふさがった。で、それらへのアリストテレスの対応策として出てきたのが、有名な「無限は可能的には存在するが現実的には存在しない」という考え方だという。これは、「すべてが同時にそこに存在できはしないという意味での無限」の言い換えでもある。この可能的／現実的の区別はなかなか秀逸で、時間や空間が分割において無限であることはこれで一応認めることができ、数学で仮定される空間は、現実の空間がどんなものかとはおよそ関係がないとすることもできる

https://www.jstage.jst.go.jp/article/philosophy1952/1968/18/1968_18_36/_article/-char/ja/
哲学/1968巻(1968)
アリストテレスの無限和泉良久

666(5): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/21(土) 11:17:34.60 ID:sEkgudR9(4/7) AAS
>>663
>後者関数を定義するには対の公理と和集合の公理が必要。

ふっふ、ほっほ
おっさん、なんも分ってないね（＾＾

まず >>657より
Intersection (set theory) https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_(set_theory)
Arbitrary intersections
Further information: Iterated binary operation

ここで、”Iterated binary operation”に下記のリンクがあるよ
https://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_binary_operation
Iterated binary operation
（google 和訳）
反復二項演算
数学において、反復二項演算とは、集合S上の二項演算を、反復適用によってSの有限個の要素の列上の関数へと拡張したものである。 [ 1 ]一般的な例としては、加算演算を総和演算に拡張することや、乗算演算を積演算に拡張することがあげられる。集合論的な演算である和と積など、他の演算も反復されることが多い
Σ、Π、∪、∩

さらに、下記がある（英文に戻す）
If S also is equipped with a metric or more generally with topology that is Hausdorff, so that the concept of a limit of a sequence is defined in S, then an infinite iteration on a countable sequence in S is defined exactly when the corresponding sequence of finite iterations converges. Thus, e.g., if a0, a1, a2, a3, … is an infinite sequence of real numbers, then the infinite product
∏i=0〜∞ ai
is defined, and equal to
lim n→∞ ∏i=0〜n ai,
if and only if that limit exists.
(引用終り)

つまり、集合論の公理として二項演算で ∪、∩ を定義するのは良い
また、その有限の繰返しとして、 ∪と∩ を使うのも良い

しかし、∪と∩ を（可算）無限回繰り返すのは、”ご注意を！”ってことだよ
やれやれ、子供に教えている気分だなｗ；ｐ）

672(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/21(土) 12:41:17.67 ID:sEkgudR9(5/7) AAS
ふっふ、ほっほ

　>>644 より再録
囲碁上達の格言の一つに、”相手の手のついて回るな”というのがあります
これを、君の>>641に当て嵌めると
君のヘボ手にお付き合いする必要がないってことだなｗ　；ｐ）
以上
(参考)
https://ss406167.stars.ne.jp/igojotatsuhintshu.html
≦囲碁上達ヒント集≧
第一部思想・考え方編
碁の主導権と先手
(引用終り)

さて、まとめると
1）カントールやデデキントにより、素朴無限集合論が出来た
2）ところが、ラッセルのパラドックスのパラドックスが出てきた（下記）
3）そこで、ヒルベルトは無限集合論を公理的に構築することで、このパラドックスを解決しようとした
4）つまりは、結論は分っている。公理的にカントール、デデキントの無限集合論を再構築すること
5）このときの大きな問題の一つが、無限公理だった
　極限順序数ω＝Ｎこれは、自然数の集合であるが、極限順序数なので有限順序数の後者関数としては実現できない
　よって、なんらかの無限公理を置く必要がある
6）このとき、単純に極限順序数ω＝Ｎのみを認める公理にすると、
　単純だがその後でさらに ωに後者関数を適用して無限集合たる順序数の構築を続けたいのだ
　なので、無限公理としては、極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合を認めることにしたのです
　勿論、ω＝Ｎや順序数という言葉を使わずに無限公理を定義するのです
7）こうして、無限公理として認めた極限順序数ω＝Ｎを含む無限集合から、集合操作の公理のみを使って、ω＝Ｎを分離する
　無限公理の陳述として、極限順序数ω＝Ｎを匂わせる記述を入れてあるから、これは可能なのだ
8）こうやって、極限順序数ω＝Ｎが出来たあとは、これをもとにいろんな無限集合例えば実数Rとかも構成できるのです

あとは、集合論の本を読んでください！■ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ラッセルのパラドックス（英: Russell's paradox）
矛盾の解消
公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。
集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。
1.公理的集合論による解消
　略
2.単純型理論による解消[注 2]
　略

677(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/21(土) 20:56:19.75 ID:sEkgudR9(6/7) AAS
>>673
>定義されるωが自然数全体の集合であることを証明してごらん

ふっふ、ほっほ
お断りする

5ｃｈ便所板で、学会ごっこ？それとも数学ゼミごっこ？
便所板は、基本的に数学記号を書くのに不向きだろ？

なんで、便所板で証明ごっこしたいのかね？オチコボレさんは
そもそも、君に理解できる能力があるのかね？その証明は？ｗ；ｐ）

まあ、下記渕野先生でも嫁めよ
最低百回音読してね　；ｐ）

(参考)
https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
渕野昌
以下のテキストは「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野昌の執筆した第I部です．　ただし，2009年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけたtypos などの訂正などの update が書きこまれているので，上記の本とは多少異なるものになっているところもあります．
目次
第I部構成的集合と公理的集合論入門1

P10
（無限公理）略
無限公理で存在の保証された集合xは0,1,2,・・・のすべてを含むものとなっている．
そこで，このようなxと分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合
N={0,1,2,・・・}
の存在が証明できる．3）
3）詳細については，P48を参照．

P48
補題2.22
(1)自然数の要素は自然数である．
(2)集合Xを∅∈Xですべてのy∈Xに対しy∪{y}となるようなものとすると，Xはすべての自然数を含む．
補題2.22の証明は，以下に述べるＯn上の帰納法の説明の後まで保留する．

https://www.utp.or.jp/book/b297559.html
東京大学出版会
ゲーデルと20世紀の論理学【全4巻】
第4巻　集合論とプラトニズム　　［執筆者］田中一之／渕野昌／松原洋／土屋俊／戸田山和久
ゲーデルにとって、集合論の対象とする宇宙は唯一つの絶対存在であり、集合論の各命題は、その宇宙において、真か偽かの確定した値をとる。ゲーデルは、連続体仮説を成り立たせる人工的宇宙を構成してみせる一方で、本物の宇宙では連続体仮説は成り立っていないと予想した。そして、それを示す方法論として、つぎつぎと巨大基数公理を強化して集合論の公理系を拡大していく所謂「ゲーデルのプログラム」を提唱した。この最終巻では、ゲーデルの数理哲学を解説するとともに、それを底流とした現代集合論の研究動向を紹介する。
第4巻　集合論とプラトニズム
　序　ゲーデルの集合論とその背景　　　田中一之（東北大学）
　I　構成的集合と公理的集合論入門　　　渕野昌（中部大学）
　II　集合論の発展――ゲーデルのプログラムの視点から　　　松原洋（名古屋大学）
　III　ゲーデルのプラトニズムと数学的直観　　　戸田山和久（名古屋大学）

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/news15.htm
河東セミナーニュース (2015年)
渕野先生の集中講義が始まりました．数学基礎論ですが，私がホストになっています． (10/19/2015)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/kyoumu/fuchino.pdf
・授業科目数学基礎論・担当講師渕野昌神戸大学・講義題目強制法入門
・場所東京大学駒場キャンパス　
・参考書，参考文献
（ここに沢山の文献リストとリンク(URL)があるよ）

680: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/06/21(土) 22:12:47.77 ID:sEkgudR9(7/7) AAS
>>678-679
ふっふ、ほっほ

渕野昌（フチノサカエ）先生
早稲田大学, 理工学部, 化学科出身だよ
君の先輩だ
日本の宝だね

まあ、下記など
・カントルの精神の継承 -̶ 無限集合の数学/超数学理論としてのカントルの集合論のその後の発展と，その「数学」へのインパクト数学文化
・フォン・ノイマンと公理的集合論現代思想
ここらを百回音読してね
勉強になるよ　（＾＾

(参考)
https://researchmap.jp/read0078210/education
渕野昌
フチノサカエ (Sakaé FUCHINO)
学歴 3
1979年4月 - 1984年3月Freie Universität Berlin, Fachbereich Mathemtatik
　1989年Dr.rer.nat.(ベルリン自由大学)。https://www.nippyo.co.jp/shop/author/540.html
1977年4月 - 1979年3月早稲田大学, 理工学部, 数学科
1973年4月 - 1977年3月早稲田大学, 理工学部, 化学科

https://researchmap.jp/read0078210/misc
https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902283
2018年2月
カントルの精神の継承 -̶ 無限集合の数学/超数学理論としてのカントルの集合論のその後の発展と，その「数学」へのインパクト
数学文化
ＰＤＦ： https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902283/attachment_file.pdf

https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902288
2013年8月
フォン・ノイマンと公理的集合論
現代思想
ＰＤＦ： https://researchmap.jp/read0078210/misc/11902288/attachment_file.pdf

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