フェルマーの最終定理の証明 (692レス)
フェルマーの最終定理の証明 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/
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652: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 05:59:09.81 ID:UNSSr5hH y''+3y'+2y=x (D^2+3D+2)y=x D^2+3D+2=(D+2)(D+1)=0 D=-2, D=-1 y_0=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x) (D+2)(D+1) y_s=x y_s=1/(D+2)(D+1) x=1/((D+2) ) 1/((D+1) ) x =1/((D+2) ) 1/((D-(-1)) ) x=1/(D+2) e^(-x) 1/D e^x x =1/(D+2) e^(-x) ∫??e^x x? dx=1/(D+2) e^(-x) (e^x x-∫?e^x dx) (e^x )'=e^x =1/(D+2) e^(-x) (xe^x-e^x )=1/(D+2) (x-1) =1/((D-(-2)) ) x-1/((D-(-2)) )=e^(-2x) 1/D e^2x x-e^(-2x) 1/D e^2x =e^(-2x) (∫??(1/2 e^2x )' x? dx)-e^(-2x) 1/2 e^2x =e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/2 ∫?e^2x dx)-1/2 =e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/4 e^2x )-1/2=1/2 x-1/4-1/2=1/2 x-3/4 ∴y=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x)+1/2 x-3/4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/652
653: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:00:49.84 ID:UNSSr5hH y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ・・・・・(#) y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0 D = -2(3重解) Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) (#)は ((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x) y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3 = 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3) = (x^5/12)e^(-2x) y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x) y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解 y(0) = A = 0 y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x) y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x) + B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x) + (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x) y'(0) = B = 5 y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x) + 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x) + (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x) y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) ) + (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) ) + (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x) - ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) ) y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4 C = 12 y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/653
654: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:06:22.62 ID:UNSSr5hH (D^2+1)y=1/(?cos?^3 (x) ) (D^2+1)y=0 λ^2+1=0 λ=0±i y_0=e^(-0) (C_1 cos(x)+C_2 sin(x))=C_1 cos(x)+C_2 sin(x) cos(x)=((e^ix+e^(-ix))/2) 1/(cos^3(x))=(2/(e^ix+e^(-ix) ))^3=8/(e^ix+e^(-ix) )^3 (D^2+1) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3 (D+i)(D-i) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3 y_s=(1/(D+i))(1/(D-i)) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix 1/D e^(-ix) 1/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix ∫e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 dx e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 =(e^3ix e^(-ix))/(e^3ix (e^ix+e^(-ix) )^3 )=e^2ix/((e^ix )^3 (e^ix+e^(-ix) )^3 ) =e^2ix/(e^ix (e^ix+e^(-ix) ))^3 =e^2ix/(e^2ix+1)^3 ∴1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix ∫e^(-2ix)/(e^2ix+1)^3 dx t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix ) ∫(8e^2ix)/(e^2ix+1)^3 dx=∫(8e^2ix)/t^3 dt/(2ie^2ix )=∫4/t^3 dt/i =-∫4i/t^3 dt=-4i∫t^(-3) dt =-4i ?-t?^(-2)/2=2it^(-2) =2i/(e^2ix+1)^2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/654
655: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:06:43.37 ID:UNSSr5hH y_s=1/(D+i) (2i/(e^2ix+1)^2 )=e^(-ix) 1/D e^ix 2i/(e^2ix+1)^2 =e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix ) ∫?(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx?=∫?(2ie^2ix)/t^2 dt/(2ie^2ix )?=∫t^(-2) dt=-1/t=-1/(e^2ix+1) y_s=e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx=-e^(-ix)/(e^2ix+1) =(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix-e^ix ))/(e^(-ix) (e^2ix+1) ) =(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix )+1)/(e^ix+e^(-ix) ) =- e^(-ix)+1/(e^ix+e^(-ix) )=- e^(-ix)+1/2cos(x) y=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- e^(-ix)+1/2cos(x) =C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- cos(x)+isin(x)+1/2cos(x) =(C_1-1)cos(x)+(C_2+i)sin(x)+1/2cos(x) =Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x) y_s=1/2cos(x) y=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 cos(2x) 1/cos(x) =C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 (2?cos?^2 (x)-1) 1/cos(x) =C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- (?cos?^2 (x)-1/2)/cos(x) =C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- cos(x)+1/2 1/cos(x) =(C_2-1)cos(x)+C_1 sin(x)+1/2cos(x) =Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/655
656: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:08:26.93 ID:UNSSr5hH y''(t) - 3y'(t) + 2y(t) = e^(-t) ・・・・・・・?(初期条件)y(0) = 1/6, y'(0) = 5/6 【ラプラス変換による解法】 L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s/6 - 5/6 L[3y'(t)] = 3( sY(s) - y(0) ) = 3sY(s) - 1/2 L[2y(t)] = 2Y(s) L[e^(-t)] = 1/(s + 1) s^2Y(s) - s/6 - 5/6 - (3sY(s) -1/2) + 2Y(s) = 1/(s+1) Y(s)(s^2 - 3s + 2) - s/6 -1/3 = 1/(s+1) s 1 1 Y(s)(s-1)(s-2) = ─ + ─ + ── 6 3 s+1 s(s+1) + 2(s+1) + 6 s^2 + 3s + 8 = ────────── = ─────── 6(s+1) 6(s+1) s^2 + 3s + 8 A B C Y(s) = ──────── = ── + ── + ── 6(s+1)(s-1)(s-2) s+1 s-1 s-2 s^2 + 3s + 8 = 6( A(s-1)(s-2) + B(s+1)(s-2) + C(s+1)(s-1) ) s = -1 のとき 1 - 3 + 8 = 6A(-2)(-3) 36A = 6 A = 1/6 s = 1 のとき 1 + 3 + 8 = 6B(2)(-1) -12B = 12 B = -1 s = 2 のとき 4 + 6 + 8 = 6C(3)(1) 18C = 18 C = 1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/656
657: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:08:58.50 ID:UNSSr5hH したがって 1/6 1 1 Y(s) = ── - ── + ── s+1 s-1 s-2 逆ラプラス変換して y(t) = -e^t + e^(2t) + (1/6)e^(-t) 【演算子法による解法】 特性方程式は k^2 -3k + 2 = (k-1)(k-2) = 0 k = 1, 2 なので y''(t) - 3'y(t) + 2y(t) = 0 の一般解 y0 は y0 = C1e^t + C2e^(2t) ?の特殊解をv(t)とすると v(t) = 1/(D-1)(D-2)*e^(-t) = 1/(D-2)*e^(-t) - 1/(D-1)*e^(-t) = (-1/3)e^(-t) + (1/2)e^(-t) = (1/6)e^(-t) よって?の一般解は y(t) = C1e^t + C2e^(2t) + (1/6)e^(-t) y(0) = C1 + C2 + 1/6 = 1/6 C1 + C2 = 0 …… ? y'(t) = C1e^t + C2*2e^(2t) - (1/6)e^(-t) y'(0) = C1 + C2*2 - 1/6 = 5/6 C1+ 2C2 = 1……? ??より C1 = -1, C2= 1 初期値を満たす特殊解を改めて y とおくと y(t) = -e^t +e^(2t) + (1/6)e^(-t) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/657
658: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:10:21.37 ID:UNSSr5hH x'' + 2x' + 5x = 2cos(3t), x(0) = 1, x'(0) = 0.・・・・・・・? L[x''(t)] = s^2X(s) - sx(0) - x'(0) = s^2X(s) - s. L[2x'(t)] = 2( sX(s) - x(0) ) = 2sX(s) - 2. L[5x(t)] = 5X(s). L[2cos(3t)] = 2s/(s^2 + 3^2). s^2X(s) - s + 2sX(s) - 2 + 5X(s) = X(s)(s^2 + 2s + 5) - s - 2 = s/(s^2 + 9). X(s)(s^2 + 2s + 5) = s + 2 + s/(s^2 + 9) (s^2+9)s + (s^2+9)2 + 2s = ──────────── s^2 + 9 s^3 + 9s + 2s^2 + 18 + 2s = ───────────── s^2 + 9 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/658
659: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:10:45.69 ID:UNSSr5hH (s^3+2s^2+11s+18) X(s) = ───────── (s^2+2s+5)(s^2+9) 15s+21 2s-9 = ─────── - ───── 13(s^2+2s+5) 13(s^2+9) 15s+15+6 2s-9 = ─────── - ───── 13(s^2+2s+5) 13(s^2+9) 15 s+1 3 2 2 s 3 3 = ──・───── + ──・───── - ──・──── + ──・──── 13 (s+1)^2+4 13 (s+1)^2+4 13 (s^2+9) 13 (s^2+9) x(t) = L^-1[X(s)] 15 s+1 3 2 2 s 3 3 = L^-1[──・────── + ──・────── - ──・──── + ──・────] 13 (s+1)^2+2^2 13 (s+1)^2+2^2 13 s^2+3^2 13 s^2+3^1 15 3 2 3 = ──e^(-t)*cos(2t) + ──e^(-t)*sin(2t) - ──cos(3t) + ──sin(3t) 13 13 13 13 e^(-t) 1 = ────( 15*cos(2t) + 3sin(2t) ) - ──( 2cos(3t) - 3sin(3t) ) 13 13 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/659
663: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 19:49:22.62 ID:UNSSr5hH E(t)=Ri(t)+1/C ∫?i(t) dt i(t)=dq(t)/dt ∫?dq(t)/dt dt=q(t) E(t)=R dq(t)/dt+q(t)/C L[Rq^' ]=RsQ(s)-Rq(0)=RsQ(s) L[q(t)/C]=Q(s)/C L[E]=E/s E/s=RsQ(s)+Q(s)/C=Q(s)(Rs+1/C) Q(s)= E/s 1/(Rs+1/C)=E/s(Rs+1/C) =(E/R)/s(s+1/CR) =E/R 1/s(s+1/CR) 1/s(s+1/CR) =A/s+B/(s+1/CR) 1=A(s+1/CR)+Bs s=0⇒A/CR=1 A=CR s=-1/CR⇒-B 1/CR=1 B=-CR Q(s)=E/R (A/s+B/(s+1/CR))=E/R (CR/s-CR/(s+1/CR))=CE/s-CE/(s+1/CR) L^(-1) [CE/s-CE/(s+1/CR)]=CE(L^(-1) [1/s-1/(s+1/CR)])=CE(1-e^(-1/CR t) ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/663
664: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 19:51:43.15 ID:UNSSr5hH y''+ 2y' + 5y = 10cos(t) y''+ 2y' + 5y = 0 y0 = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) ) e^iat/φ(D) = e^iat/φ(ia) …… (2) (1)の特殊解を v とすると (D^2+2D+5)v = 10e^it (2)を使って 10e^it/(D^2+2D+5) 2cos(t) - icos(t) - 2isin(t) + sin(t) v = 2cos(t) + sin(t) y = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) ) + 2cos(t) + sin(t) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/664
668: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 22:08:56.93 ID:UNSSr5hH ∇=(∂/∂x ,∂/∂y), ∇f=(∂f/∂x ,∂f/∂y) (1)∇(C_1 f+C_2 g)=C_1 ∇f+C_2 ∇g ∇(C_1 f+C_2 g)=(∂(C_1 f+C_2 g)/∂x ,∂(C_1 f+C_2 g)/∂y) =(C_1 ∂f/∂x+C_2 ∂g/∂x ,C_1 ∂f/∂y+C_2 ∂g/∂y) =C_1 (∂f/∂x ,∂f/∂y)+C_2 (∂g/∂x ,∂g/∂y) (2)∇(fg)=(∇f)g+f(∇g) ∇(fg)=(∂fg/∂x ,∂fg/∂y)=(∂f/∂x g+f ∂g/∂x, ∂f/∂y g+f ∂g/∂y) =(∂f/∂x,∂f/∂y)g+f(∂g/∂x,∂g/∂y)=(∇f)g+f(∇g) (3)∇(f/g)=((∇f)g-f(∇g))/g^2 ∇(f/g)=(∂/∂x (f/g) ,∂/∂y (f/g)) =1/g^2 ((∂f/∂x g-f ∂g/∂x) ,(∂f/∂y g-f ∂g/∂y)) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/668
669: 132人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 22:12:17.09 ID:UNSSr5hH ∫_0^∞?(sin(x))/x dx ∂/∂s (e^(-sx) (sin(x))/x)=-xe^(-sx) (sin(x))/x=-e^(-sx) sin(x) F(s)=∫_0^∞??e^(-sx) (sin(x))/x? dx (s?0) dF(s)/ds=d/ds ∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x)/x? dx =∫_0^∞??∂/ds e^(-sx) sin?(x)/x? dx =∫_0^∞??-xe^(-sx) sin?(x)/x? dx=-∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x) ? dx =-∫_0^∞??-1/s (e^(-sx) )^' sin(x)? dx =∫_0^∞??1/s (e^(-sx) )^' sin(x)? dx =[1/s e^(-sx) sin(x)]_0^∞-1/s ∫_0^∞??e^(-sx) cos(x)? dx =0-1/s ∫_0^∞??e^(-sx) cos(x)? dx=-1/s ∫_0^∞???-1/s (e^(-sx) )?^' cos(x)? dx =1/s^2 ∫_0^∞??(e^(-sx) )^' cos(x)? dx =[1/s^2 e^(-sx) cos(x)]_0^∞-1/s^2 ∫_0^∞??-e^(-sx) sin(x)? dx =-1/s^2 +1/s^2 ∫_0^∞??e^(-sx) sin(x)? dx =-1/s^2 -1/s^2 dF(s)/ds (dF(s)/ds=-∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x) ? dx) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745314067/669
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