フェルマーの最終定理の証明 (680ﾚｽ)
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652: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 05:59:09.81 ID:UNSSr5hH(1/12) AAS
y''+3y'+2y=x
(D^2+3D+2)y=x
D^2+3D+2=(D+2)(D+1)=0 D=-2, D=-1
y_0=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x)
(D+2)(D+1) y_s=x
y_s=1/(D+2)(D+1) x=1/((D+2) ) 1/((D+1) ) x
=1/((D+2) ) 1/((D-(-1)) ) x=1/(D+2) e^(-x) 1/D e^x x
=1/(D+2) e^(-x) ∫??e^x x? dx=1/(D+2) e^(-x) (e^x x-∫?e^x dx) (e^x )'=e^x
=1/(D+2) e^(-x) (xe^x-e^x )=1/(D+2) (x-1)
=1/((D-(-2)) ) x-1/((D-(-2)) )=e^(-2x) 1/D e^2x x-e^(-2x) 1/D e^2x
=e^(-2x) (∫??(1/2 e^2x )' x? dx)-e^(-2x) 1/2 e^2x
=e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/2 ∫?e^2x dx)-1/2
=e^(-2x) (1/2 e^2x x-1/4 e^2x )-1/2=1/2 x-1/4-1/2=1/2 x-3/4
∴y=C_1 e^(-2x)+C_2 e^(-x)+1/2 x-3/4
653: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:00:49.84 ID:UNSSr5hH(2/12) AAS
y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x) ･････(#)
y''' + 6y'' + 12y' + 8y = 5x^2e^(-2x), y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4
D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
D = -2（3重解）
Y = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x)
(#)は
((D+2)^3)y = 5(x^2)e^(-2x)
y0 = 5(x^2)e^(-2x)/(D+2)^3
= 5e^(-2x)/( (2+1)(2+2)(2+3) )x^(2+3)
= (x^5/12)e^(-2x)
y(x) = (Cx^2+Bx+A)e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y(0) = 0, y'(0) = 5, y''(0) = 4 のときの特殊解
y(0) = A = 0
y(x) = Cx^2*e^(-2x) + Bx*e^(-2x) + (x^5/12)e^(-2x)
y'(x) = C2xe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ B*e^(-2x) - 2Bx*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y'(0) = B = 5
y'(x) = 2Cxe^(-2x) - 2Cx^2*e^(-2x)
+ 5*e^(-2x) - 10x*e^(-2x)
+ (5/12)5x^4*e^(-2x) - 2(x^5/12)*e^(-2x)
y''(x) = 2Ce^(-2x) + 4Cxe^(-2x) - ( 4Cx*e^(-2x) - 2Cx^2(-2)e^(-2x) )
+ (-2)5*e^(-2x) - (10*e^(-2x) - 2*10x*e^(-2x) )
+ (5/12)20x^3*e^(-2x) - 2(5/12)5x^4*e^(-2x)
- ( 2(4x^4/12)*e^(-2x) - 2*2(x^5/12)*e^(-2x) )
y''(0) = 2C - 10 - 10 = 4
C = 12
y(x) = ( 12x^2+5x+(x^5/12) )e^(-2x)
654: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:06:22.62 ID:UNSSr5hH(3/12) AAS
(D^2+1)y=1/(?cos?^3 (x) )
(D^2+1)y=0
λ^2+1=0 λ=0±i
y_0=e^(-0) (C_1 cos(x)+C_2 sin(x))=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)
cos(x)=((e^ix+e^(-ix))/2)
1/(cos^3(x))=(2/(e^ix+e^(-ix) ))^3=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
(D^2+1) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
(D+i)(D-i) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
y_s=(1/(D+i))(1/(D-i)) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3
1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix 1/D e^(-ix) 1/(e^ix+e^(-ix) )^3
=8e^ix ∫e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 dx
e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 =(e^3ix e^(-ix))/(e^3ix (e^ix+e^(-ix) )^3 )=e^2ix/((e^ix )^3 (e^ix+e^(-ix) )^3 )
=e^2ix/(e^ix (e^ix+e^(-ix) ))^3 =e^2ix/(e^2ix+1)^3
∴1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix ∫e^(-2ix)/(e^2ix+1)^3 dx
t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix )
∫(8e^2ix)/(e^2ix+1)^3 dx=∫(8e^2ix)/t^3 dt/(2ie^2ix )=∫4/t^3 dt/i
=-∫4i/t^3 dt=-4i∫t^(-3) dt =-4i ?-t?^(-2)/2=2it^(-2)
=2i/(e^2ix+1)^2
655: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:06:43.37 ID:UNSSr5hH(4/12) AAS
y_s=1/(D+i) (2i/(e^2ix+1)^2 )=e^(-ix) 1/D e^ix 2i/(e^2ix+1)^2 =e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx
t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix )
∫?(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx?=∫?(2ie^2ix)/t^2 dt/(2ie^2ix )?=∫t^(-2) dt=-1/t=-1/(e^2ix+1)
y_s=e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx=-e^(-ix)/(e^2ix+1)
=(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix-e^ix ))/(e^(-ix) (e^2ix+1) ) =(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix )+1)/(e^ix+e^(-ix) )
=- e^(-ix)+1/(e^ix+e^(-ix) )=- e^(-ix)+1/2cos(x)
y=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- e^(-ix)+1/2cos(x)
=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- cos(x)+isin(x)+1/2cos(x)
=(C_1-1)cos(x)+(C_2+i)sin(x)+1/2cos(x)
=Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x)
y_s=1/2cos(x)
y=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 cos(2x) 1/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 (2?cos?^2 (x)-1) 1/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- (?cos?^2 (x)-1/2)/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- cos(x)+1/2 1/cos(x)
=(C_2-1)cos(x)+C_1 sin(x)+1/2cos(x)
=Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x)
656: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:08:26.93 ID:UNSSr5hH(5/12) AAS
y''(t) - 3y'(t) + 2y(t) = e^(-t) ･･･････?（初期条件）y(0) = 1/6, y'(0) = 5/6
【ラプラス変換による解法】
L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) = s^2Y(s) - s/6 - 5/6
L[3y'(t)] = 3( sY(s) - y(0) ) = 3sY(s) - 1/2
L[2y(t)] = 2Y(s)
L[e^(-t)] = 1/(s + 1)
s^2Y(s) - s/6 - 5/6 - (3sY(s) -1/2) + 2Y(s) = 1/(s+1)
Y(s)(s^2 - 3s + 2) - s/6 -1/3 = 1/(s+1)
s 1 1
Y(s)(s-1)(s-2) = ─ + ─ + ──
6 3 s+1
s(s+1) + 2(s+1) + 6 s^2 + 3s + 8
= ────────── = ───────
6(s+1) 6(s+1)
s^2 + 3s + 8 A B C
Y(s) = ──────── = ── + ── + ──
6(s+1)(s-1)(s-2) s+1 s-1 s-2
s^2 + 3s + 8 = 6( A(s-1)(s-2) + B(s+1)(s-2) + C(s+1)(s-1) )
s = -1 のとき 1 - 3 + 8 = 6A(-2)(-3) 36A = 6 A = 1/6
s = 1 のとき 1 + 3 + 8 = 6B(2)(-1) -12B = 12 B = -1
s = 2 のとき 4 + 6 + 8 = 6C(3)(1) 18C = 18 C = 1
657: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:08:58.50 ID:UNSSr5hH(6/12) AAS
したがって
1/6 1 1
Y(s) = ── - ── + ──
s+1 s-1 s-2
逆ラプラス変換して
y(t) = -e^t + e^(2t) + (1/6)e^(-t)
【演算子法による解法】
特性方程式は
k^2 -3k + 2 = (k-1)(k-2) = 0 k = 1, 2
なので
y''(t) - 3'y(t) + 2y(t) = 0
の一般解 y0 は
y0 = C1e^t + C2e^(2t)
?の特殊解をv(t)とすると
v(t) = 1/(D-1)(D-2)*e^(-t)
= 1/(D-2)*e^(-t) - 1/(D-1)*e^(-t)
= (-1/3)e^(-t) + (1/2)e^(-t) = (1/6)e^(-t)
よって?の一般解は
y(t) = C1e^t + C2e^(2t) + (1/6)e^(-t)
y(0) = C1 + C2 + 1/6 = 1/6
C1 + C2 = 0 …… ?
y'(t) = C1e^t + C2*2e^(2t) - (1/6)e^(-t)
y'(0) = C1 + C2*2 - 1/6 = 5/6
C1+ 2C2 = 1……?
??より
C1 = -1, C2= 1
初期値を満たす特殊解を改めて y とおくと
y(t) = -e^t +e^(2t) + (1/6)e^(-t)
658: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:10:21.37 ID:UNSSr5hH(7/12) AAS
x'' + 2x' + 5x = 2cos(3t), x(0) = 1, x'(0) = 0.･･･････?
L[x''(t)] = s^2X(s) - sx(0) - x'(0) = s^2X(s) - s.
L[2x'(t)] = 2( sX(s) - x(0) ) = 2sX(s) - 2.
L[5x(t)] = 5X(s).
L[2cos(3t)] = 2s/(s^2 + 3^2).
s^2X(s) - s + 2sX(s) - 2 + 5X(s)
= X(s)(s^2 + 2s + 5) - s - 2 = s/(s^2 + 9).
X(s)(s^2 + 2s + 5) = s + 2 + s/(s^2 + 9)
(s^2+9)s + (s^2+9)2 + 2s
= ────────────
s^2 + 9
s^3 + 9s + 2s^2 + 18 + 2s
= ─────────────
s^2 + 9
659: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 06:10:45.69 ID:UNSSr5hH(8/12) AAS
(s^3+2s^2+11s+18)
X(s) = ─────────
(s^2+2s+5)(s^2+9)
15s+21 2s-9
= ─────── - ─────
13(s^2+2s+5) 13(s^2+9)
15s+15+6 2s-9
= ─────── - ─────
13(s^2+2s+5) 13(s^2+9)
15 s+1 3 2 2 s 3 3
= ──･───── + ──･───── - ──･──── + ──･────
13 (s+1)^2+4 13 (s+1)^2+4 13 (s^2+9) 13 (s^2+9)
x(t) = L^-1[X(s)]
15 s+1 3 2 2 s 3 3
= L^-1[──･────── + ──･────── - ──･──── + ──･────]
13 (s+1)^2+2^2 13 (s+1)^2+2^2 13 s^2+3^2 13 s^2+3^1
15 3 2 3
= ──e^(-t)*cos(2t) + ──e^(-t)*sin(2t) - ──cos(3t) + ──sin(3t)
13 13 13 13
e^(-t) 1
= ────( 15*cos(2t) + 3sin(2t) ) - ──( 2cos(3t) - 3sin(3t) )
13 13
663: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 19:49:22.62 ID:UNSSr5hH(9/12) AAS
E(t)=Ri(t)+1/C ∫?i(t) dt
i(t)=dq(t)/dt ∫?dq(t)/dt dt=q(t)
E(t)=R dq(t)/dt+q(t)/C
L[Rq^' ]=RsQ(s)-Rq(0)=RsQ(s)
L[q(t)/C]=Q(s)/C L[E]=E/s
E/s=RsQ(s)+Q(s)/C=Q(s)(Rs+1/C)
Q(s)= E/s 1/(Rs+1/C)=E/s(Rs+1/C) =(E/R)/s(s+1/CR) =E/R 1/s(s+1/CR)
1/s(s+1/CR) =A/s+B/(s+1/CR) 1=A(s+1/CR)+Bs
s=0⇒A/CR=1 A=CR
s=-1/CR⇒-B 1/CR=1 B=-CR
Q(s)=E/R (A/s+B/(s+1/CR))=E/R (CR/s-CR/(s+1/CR))=CE/s-CE/(s+1/CR)
L^(-1) [CE/s-CE/(s+1/CR)]=CE(L^(-1) [1/s-1/(s+1/CR)])=CE(1-e^(-1/CR t) )
664: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 19:51:43.15 ID:UNSSr5hH(10/12) AAS
y''+ 2y' + 5y = 10cos(t)
y''+ 2y' + 5y = 0
y0 = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) )
e^iat/φ(D) = e^iat/φ(ia) …… (2)
(1)の特殊解を v とすると
(D^2+2D+5)v = 10e^it
(2)を使って
10e^it/(D^2+2D+5)
2cos(t) - icos(t) - 2isin(t) + sin(t)
v = 2cos(t) + sin(t)
y = e^(-t)( C1cos(2t) + C2sin(2t) ) + 2cos(t) + sin(t)
668: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 22:08:56.93 ID:UNSSr5hH(11/12) AAS
∇=(∂/∂x ,∂/∂y), ∇f=(∂f/∂x ,∂f/∂y)
(1)∇(C_1 f+C_2 g)=C_1 ∇f+C_2 ∇g
∇(C_1 f+C_2 g)=(∂(C_1 f+C_2 g)/∂x ,∂(C_1 f+C_2 g)/∂y)
=(C_1 ∂f/∂x+C_2 ∂g/∂x ,C_1 ∂f/∂y+C_2 ∂g/∂y)
=C_1 (∂f/∂x ,∂f/∂y)+C_2 (∂g/∂x ,∂g/∂y)
(2)∇(fg)=(∇f)g+f(∇g)
∇(fg)=(∂fg/∂x ,∂fg/∂y)=(∂f/∂x g+f ∂g/∂x, ∂f/∂y g+f ∂g/∂y)
=(∂f/∂x,∂f/∂y)g+f(∂g/∂x,∂g/∂y)=(∇f)g+f(∇g)
(3)∇(f/g)=((∇f)g-f(∇g))/g^2
∇(f/g)=(∂/∂x (f/g) ,∂/∂y (f/g))
=1/g^2 ((∂f/∂x g-f ∂g/∂x) ,(∂f/∂y g-f ∂g/∂y))
669: １３２人目の素数さん [] 2025/08/19(火) 22:12:17.09 ID:UNSSr5hH(12/12) AAS
∫_0^∞?(sin(x))/x dx
∂/∂s (e^(-sx) (sin(x))/x)=-xe^(-sx) (sin(x))/x=-e^(-sx) sin(x)
F(s)=∫_0^∞??e^(-sx) (sin(x))/x? dx (s?0)
dF(s)/ds=d/ds ∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x)/x? dx
=∫_0^∞??∂/ds e^(-sx) sin?(x)/x? dx
=∫_0^∞??-xe^(-sx) sin?(x)/x? dx=-∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x) ? dx
=-∫_0^∞??-1/s (e^(-sx) )^' sin(x)? dx
=∫_0^∞??1/s (e^(-sx) )^' sin(x)? dx
=[1/s e^(-sx) sin(x)]_0^∞-1/s ∫_0^∞??e^(-sx) cos(x)? dx
=0-1/s ∫_0^∞??e^(-sx) cos(x)? dx=-1/s ∫_0^∞???-1/s (e^(-sx) )?^' cos(x)? dx
=1/s^2 ∫_0^∞??(e^(-sx) )^' cos(x)? dx
=[1/s^2 e^(-sx) cos(x)]_0^∞-1/s^2 ∫_0^∞??-e^(-sx) sin(x)? dx
=-1/s^2 +1/s^2 ∫_0^∞??e^(-sx) sin(x)? dx
=-1/s^2 -1/s^2 dF(s)/ds (dF(s)/ds=-∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x) ? dx)
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