フェルマーの最終定理の証明 (684ﾚｽ)
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578: １３２人目の素数さん [] 2025/08/04(月) 08:19:38.82 ID:1IPLg7e8(1/5) AAS
２０２５
┌ ┐
│ 1 0 1│
A = │ 1 1 2│
│-1 2 1│
└ ┘
│λ 0 0│ │ 1 0 1│ │λ-1 0 -1 │
det(λE-A) =│0 λ 0│-│ 1 1 2│=│-1 λ-1 -2 │
│0 0 λ│ │-1 2 1│ │ 1 -2 λ-1│
= (λ-1)│λ-1 -2 │-│-1 λ-1│
│-2 λ-1│ │ 1 -2 │
= (λ-1)(λ-1)^2 - 4 ) - (2 -(λ-1) )
= (λ-1)(λ^2-2λ-3) + λ - 3
= λ^3 - 2λ^2 - 3λ - λ^2 + 2λ + 3 + λ - 3
= λ^3 - 3λ^2 = λ^2(λ-3) = 0.
∴λ = 0（重解）, 3.
┌ ┐
│x1│
X↑=│x2│
│x3│
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ 1 0 1│ │1 0 1│ │1 0 1│ │1 0 0│
│ 1 1 2│→│1 0 1│→│0 1 1│→│0 1 1│
│-1 2 1│ │0 1 1│ │0 0 0│ │0 0 0│
└ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘
-1 2 1 1 1 2 1 0 1
+) 1 0 1 -)0 1 1 +)0 1 1
---------- -------------- -----------
0 2 2 1 0 1 1 0 0
dim(V[0]) = 3 - rank(A) = 1
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
│1 0 0││x1│ │0│ x1 = 0
│0 1 1││x2│=│0│ x2 + x3 = 0 x2 = -x3
│0 0 0││x3│ │0│
└ ┘└ ┘ └ ┘
x3 = t
┌ ┐
│ 0│
t│-1│
│ 1│
└ ┘
579: １３２人目の素数さん [] 2025/08/04(月) 08:23:14.71 ID:1IPLg7e8(2/5) AAS
┌ ┐ ┌ ┐
│a1 a2 a3│ │x1 x2 x3│
A =│b1 b2 b3│ A^-1 =│y1 y2 y3│
│c1 c2 c3│ │z1 z2 z3│
└ ┘ └ ┘
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
│a1 a2 a3││x1 x2 x3│ │1 0 0│
│b1 b2 b3││y1 y2 y3│ = │0 1 0│
│c1 c2 c3││z1 z2 z3│ │0 0 1│
└ ┘└ ┘ └ ┘
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
│a1 a2 a3││x1│ │1│ a1x1 + a2y1 + a3z1 = 1
│b1 b2 b3││y1│ = │0│ b1x1 + b2y1 + b3z1 = 0
│c1 c2 c3││z1│ │0│ c1x1 + c2y1 + c3z1 = 0
└ ┘└ ┘ └ ┘
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
│a1 a2 a3││x2│ │0│ a1x2 + a2y2 + a3z2 = 0
│b1 b2 b3││y2│ = │1│ b1x2 + b2y2 + b3z2 = 1
│c1 c2 c3││z2│ │0│ c1x2 + c2y2 + c3z2 = 0
└ ┘└ ┘ └ ┘
┌ ┐┌ ┐ ┌ ┐
│a1 a2 a3││x3│ │0│ a1x3 + a2y3 + a3z3 = 0
│b1 b2 b3││y3│ = │0│ b1x3 + b2y3 + b3z3 = 0
│c1 c2 c3││z3│ │1│ c1x3 + c2y3 + c3z3 = 1
└ ┘└ ┘ └ ┘
580: １３２人目の素数さん [] 2025/08/04(月) 08:23:48.00 ID:1IPLg7e8(3/5) AAS
係数 定数
┌ ┐
│a1 a2 a3 │ 1 0 0│
│b1 b2 b3 │ 0 1 0│
│c1 c2 c3 │ 0 0 1│
└ ┘
┌ ┐
│1 0 0 │ p1 p2 p3│
│0 1 0 │ q1 q2 q3│
│0 0 1 │ r1 r2 r3│
└ ┘
x1 = p1. x2 = p2. x3 = p3.
y1 = q1. y2 = q2. y3 = q3.
z1 = r1. z2 = r2. z3 = r3.
┌ ┐
│p1 p2 p3│
A^-1 =│q1 q2 q3│
│r1 r2 r3│
└ ┘
581: １３２人目の素数さん [] 2025/08/04(月) 12:56:43.89 ID:1IPLg7e8(4/5) AAS
x ?+ax ?+bx=0 ???
λ^2+aλ+b=0
λ=α, β ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 e^βt
λ=α (重解) ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 te^βt
λ=α±βi ⇒ x= e^αt (C_1 cos?(βt)+C_2 cos?(βt))
λ^2-μ=0
0^2-4(-μ)=4μ
(?@)μ>0のときλ=±√μなので
X= C_1 e^(√μ x)+C_2 e^(-√μ x)
X^'= C_1 √μ e^(√μ x)-C_2 √μ e^(-√μ x)
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
u_x (0,t)=X^' (0)= C_1 √μ e^0-C_2 √μ e^0=(C_1-C_2 ) √μ=0
μ>0なので
C_1-C_2=0 C_1=C_2
u_x (1,t)=X^' (1)= C_1 √μ e^√μ-C_2 √μ e^(-√μ)=(C_1 e^√μ-C_2 e^(-√μ) ) √μ=0
C_1=C_2なので
(C_1 e^√μ-C_1 e^(-√μ) ) √μ= C_1 (e^√μ-e^(-√μ) ) √μ=0
μ>0、e^√μ-e^(-√μ)≠0なのでC_1=C_2=0
（※e^√μ=e^(-√μ)となるのはμ=0のときだけ）
X(x)=0 ∴u(x,t)=X(x)T(t)=0
(?A)μ=0のとき重解なので
X= C_1 e^0x+C_2 xe^0x=C_1+C_2 x
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
X^' (0)=X^' (1)= C_2=0
X=C_1
582: １３２人目の素数さん [] 2025/08/04(月) 14:49:52.20 ID:1IPLg7e8(5/5) AAS
∫_0^∞?(sin(x))/x dx
∂/∂s (e^(-sx) (sin(x))/x)=-xe^(-sx) (sin(x))/x=-e^(-sx) sin(x)
F(s)=∫_0^∞??e^(-sx) (sin(x))/x? dx (s?0)
dF(s)/ds=d/ds ∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x)/x? dx
=∫_0^∞??∂/ds e^(-sx) sin?(x)/x? dx
=∫_0^∞??-xe^(-sx) sin?(x)/x? dx=-∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x) ? dx
=-∫_0^∞??-1/s (e^(-sx) )^' sin(x)? dx
=∫_0^∞??1/s (e^(-sx) )^' sin(x)? dx
=[1/s e^(-sx) sin(x)]_0^∞-1/s ∫_0^∞??e^(-sx) cos(x)? dx
=0-1/s ∫_0^∞??e^(-sx) cos(x)? dx=-1/s ∫_0^∞???-1/s (e^(-sx) )?^' cos(x)? dx
=1/s^2 ∫_0^∞??(e^(-sx) )^' cos(x)? dx
=[1/s^2 e^(-sx) cos(x)]_0^∞-1/s^2 ∫_0^∞??-e^(-sx) sin(x)? dx
=-1/s^2 +1/s^2 ∫_0^∞??e^(-sx) sin(x)? dx
=-1/s^2 -1/s^2 dF(s)/ds (dF(s)/ds=-∫_0^∞??e^(-sx) sin?(x) ? dx)
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