抽象化で証明できる命題は増えないだろ (52ﾚｽ)
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1(2): １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 02:23:57.77 ID:2fuJevgW(1) AAS
だから無意味
2: １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 02:29:25.36 ID:va9SNCXE(1) AAS
しかし守備範囲は明確になる
たとえばフェルマーの小定理は整数の性質というより有限巡回群の性質だ
3(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 06:21:29.61 ID:DBPzopUM(1/2) AAS
抽象化しないと帰納法が使えない例は？
4: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:47:48.29 ID:kKoXjxuf(1/9) AAS
働けウンコ製造機
5: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:48:42.73 ID:kKoXjxuf(2/9) AAS
逆に選択公理がなくても証明できる定理は？
2chｽﾚ:math
6: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:48:55.35 ID:kKoXjxuf(3/9) AAS
円周率が3であることを証明した
2chｽﾚ:math
7: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:49:36.25 ID:kKoXjxuf(4/9) AAS
高校の数学で扱う定義を大学の内容で証明している本
2chｽﾚ:math
8: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:49:51.38 ID:kKoXjxuf(5/9) AAS
証明って読む必要ある？
2chｽﾚ:math
9: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:50:08.00 ID:kKoXjxuf(6/9) AAS
証明はただのパズル
2chｽﾚ:math
10: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:50:33.26 ID:kKoXjxuf(7/9) AAS
証明は読むべきか
2chｽﾚ:math
11: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:50:49.22 ID:kKoXjxuf(8/9) AAS
証明多くね
2chｽﾚ:math
12: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 06:51:09.68 ID:kKoXjxuf(9/9) AAS
ぽまいらが好きな証明
2chｽﾚ:math
13: １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 13:21:02.89 ID:DZ4fHBmI(1) AAS
具体的な手法を発明したやつが一番偉くて、抽象化はただの逆数学
14: １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 14:29:21.84 ID:zaI2rzWG(1) AAS
逆数学も数学
15: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/05(水) 16:49:20.88 ID:6k5K3ML1(1) AAS
>>3で終わってるな。
問題が具体的すぎると帰納法が回らないことがある。
ゆえに、抽象化は無意味ではない。
16(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 16:54:07.83 ID:cHGlH1bB(1) AAS
なにいってんだこいつ
17: １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 22:31:06.98 ID:DBPzopUM(2/2) AAS
>>16
研究者の実感かも
18: １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 07:03:56.23 ID:CUxJFjQs(1) AAS
証明が楽になる
線形代数やホモロジー代数というフレームワークの恩恵は計り知れない
19: １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 11:24:31.73 ID:+rfomp58(1) AAS
一般化も抽象化も形式的には具体的な集合(または圏)Xに対してそれを含む集合(圏)に考察を移すことだよな
証明できる命題は増えるよな
20(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 11:45:30.78 ID:70gHA1Vi(1) AAS
増えない
抽象的に証明できる命題は具体的にも証明できる
21(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 11:51:47.42 ID:yzbrPFRb(1) AAS
ただし、選択公理を使わないと証明できない命題は除く
選択公理は机上の空論
22(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 12:35:39.11 ID:I7ERx3/l(1/4) AAS
>>21
基底を持たないベクトル空間を机上の空論なしで具体的に構成してください。
23: １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 12:36:08.08 ID:I7ERx3/l(2/4) AAS
自明なものは無しで。
24(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 12:40:04.88 ID:GddeoWbS(1) AAS
>>22
それが存在するって前提はどこからきたん？
具体的構成なしに存在を信じてるん？
25(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 12:41:44.39 ID:I7ERx3/l(3/4) AAS
>>24
選択公理がなければ全てのベクトル空間に基底が存在するとは言えないので。
26(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 12:45:10.10 ID:ZwLJiPr5(1) AAS
>>25
すまん、バカ確定や
存在証明がないことと不存在が証明できることの違いもわからんとか
27: １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 12:48:07.20 ID:I7ERx3/l(4/4) AAS
>>26
全てのベクトル空間に基底が存在することが机上の空論であることと、最早基底が存在しないベクトル空間について語ることをやめることに、何か違いはありますか？
28(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/07(金) 17:21:15.64 ID:bTP/cVKd(1/6) AAS
>>20
具体的すぎると帰納法が回らないことがある。
ゆえに、抽象化は無意味ではない。
帰納法が回るところまで抽象化した時点で、
それ全体を具体的と見なせば「具体的に証明できる」
とも言えるが、それは詭弁。
29: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/07(金) 17:48:09.48 ID:bTP/cVKd(2/6) AAS
抽象化に意味がある理由その2。
少ない公理数で済むように抽象化した方が、
変形理論が作りやすい。
2chｽﾚ:math
30: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/07(金) 17:54:50.69 ID:bTP/cVKd(3/6) AAS
たとえば群論。
群論では、やたらと群の変形が行われる。
具体的には、(G_λ｜λ∈Λ) という群の族があったときに、
その族から新しい群 G を作る、という操作が頻発する。
そのような変形が可能である理由の1つは、
群の公理で要求されるチェック項目が少ないから。
もし群の公理がポンコツでチェック項目が多かったら、
G_λから作った G はチェックを通らずに「群になってない」
という失敗が起きやすくなる。
抽象化の利点はここにある。抽象化した方が変形理論が作りやすい。
31: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/07(金) 18:05:27.54 ID:bTP/cVKd(4/6) AAS
>>1の主張は
「抽象化で証明できる命題は増えないだろ。だから無意味」
というものだが、これ自体にもツッコミどころが2つある。
32: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/07(金) 18:09:48.72 ID:bTP/cVKd(5/6) AAS
ツッコミどころ1。
抽象化した道具の、その道具自体を前提とした命題は、
命題の文章の中に「その道具」が埋め込まれているのだから
それ以上具体化できない。つまり、抽象化で証明できる命題が増えている。
具体例。「任意の群において、その群の単位元は一意的である」が、
この命題は群そのものに関する言及なのだから、
群という抽象化を封印した状態では、そもそもこの命題が記述できない。
33: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/07(金) 18:14:35.70 ID:bTP/cVKd(6/6) AAS
ツッコミどころ2。
抽象化で証明できる命題が増えかったとしても、
「だから無意味」とはならない。
抽象化した方が数学的な道具が増えて、命題を証明するときの難易度が下がる。
抽象化を封印した縛りプレイで難易度を上げる意味がない。
プログラミングで言えば、人間が扱うプログラミング言語は
最終的には機械語に翻訳されて実行されるわけだが、
「だから機械語だけでいい。高級言語は無意味。
みんな機械語だけでプログラミングしろ」
とはならないのと同じ。
34: １３２人目の素数さん [] 2025/02/09(日) 21:19:34.60 ID:TmPaTxYs(1) AAS
浅い理解だなあ……(・_・)
35(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/09(日) 21:23:43.00 ID:wiMZxkRo(1) AAS
>>1
実数だけでガロア対応を証明してみて
まず定式化するところから始めてね、もちろん群や体などの抽象概念は使っちゃだめよ
36: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 21:13:53.75 ID:s+BwhYmn(1) AAS
>>35
ガロア対応を証明とは？
37(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/11(火) 00:21:28.58 ID:wrNcjaS0(1) AAS
>>28
帰納法が回らないという意味がよく分からんが
例えばn=10の場合を証明したければn=1から順にn=10まで全部書けばいい
38(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/11(火) 02:26:35.97 ID:a715F0Tt(1/5) AAS
>>37
ファン・デル・ヴェルデンの定理：
任意の自然数 k, l に対して、自然数 n(k, l) が存在して、
連続する n(k, l) 個の自然数をどのように k 色に塗り分けても、
同色で長さが l の等差数列が存在する。
この定理は帰納法で証明できるが、安直に帰納法を適用するなら、
・ k,l に対する二重帰納法を使う
・ n＝k＋l として、nに対する帰納法を使う
などの方法が挙げられる。だが、これらの方法は失敗する。
帰納法が上手く回らないのである。
39: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/11(火) 02:32:05.76 ID:a715F0Tt(2/5) AAS
ファン・デル・ヴェルデンの定理の証明は色々あるが、
帰納法が回るように定理の内容を大幅に抽象化しなければならず、
どう抽象化すればいいのかが腕の見せどころになる。
グラフ理論の言葉で書き換えて抽象化した上で帰納法を使ったり、
あるいは Hales–Jewettの定理 のような拡張の仕方もある。
もともとの定理から離れすぎない抽象化の仕方は wiki に載っていて、
もともとのパラメータ「 k, l 」とは異なる方向性からの
3つのパラメータが導入されて、3重帰納法の様相を呈している。
40: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/11(火) 02:46:15.61 ID:a715F0Tt(3/5) AAS
なぜ>>38の形のままでは帰納法が回らないのか？
それは、定理の内容が具体的すぎて、「変形理論」の構築に失敗するからだ。
なぜ大幅に抽象化すると帰納法が回るようになるのか？
それは、抽象化すると「変形理論」が作りやすいからだ。
41: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/11(火) 02:47:55.71 ID:a715F0Tt(4/5) AAS
変形理論の構築に失敗していると、少し変形しただけでも、
変形前のフレームワークから はみ出てしまう。帰納法の場合、
そこで帰納法の前提に帰着できないことになるので、失敗に終わる。
42: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/11(火) 02:49:36.17 ID:a715F0Tt(5/5) AAS
変形理論の構築に成功していると、変形したあとでも、
変形前と同じフレームワークに収まる。帰納法の場合、
そこで帰納法の前提に帰着できることになるので、成功する。
43: １３２人目の素数さん [] 2025/06/22(日) 22:27:42.79 ID:2CwzH8ni(1) AAS
全ての定理や補題には、その成立に
選択公理を仮定しているか否かを
明記すべきだな。
44: １３２人目の素数さん [] 2025/06/23(月) 19:15:25.10 ID:BtVcNGxY(1) AAS
抽象化で一見別の分野の内容だと思われて
いたものが、統一的に理解されるならば、
証明や定義や構成のリストラクチャーを
招き、書物の数と記述の量を節約しうる
ものである。デジタルならば参照リンク
だらけの本とか。
45: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/24(火) 04:35:14.26 ID:ozQWczEK(1/5) AAS
反証があるから偽なりなのではなく反証があるから真なりなのかもな。数学は根本的に多数決の原理とは違うほうが堕落しない。
46: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/24(火) 04:37:40.50 ID:ozQWczEK(2/5) AAS
論理抽象操作などは不思議な世界だよ。嘘かもしれないけど存在が出てきたりする。
47: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/24(火) 04:39:24.19 ID:ozQWczEK(3/5) AAS
アンチ問題とかもよく考えてみたほうが良いと思う。敵が多く反論が多いことはなんなんだろうか。
48: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/24(火) 04:40:26.79 ID:ozQWczEK(4/5) AAS
大多数が否定するものは価値が高いのでは。
49: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 2025/06/24(火) 04:42:34.79 ID:ozQWczEK(5/5) AAS
存在を賭けているような埋もれてしまった真理が好きだ。
50: １３２人目の素数さん [] 2025/06/28(土) 23:49:39.68 ID:Qlqh+TEx(1) AAS
高度に進化した学問の深い体系は、
大災害などで一端絶滅してしまう
と、それを再び元のレベルに復興
するのが難しいかもしれない。ま
た再度立ち上がった文明は、別の
同じではない理論体系を生みだし
ているかもしれないな。
51: poem [] 2025/08/29(金) 14:30:31.10 ID:IRX2U7N+(1) AAS
具体を
2chｽﾚ:math
↓抽象化した
2chｽﾚ:math
完成
52: poem [] 2025/08/31(日) 00:35:30.52 ID:O81pnbro(1) AAS
これを読んで数学者の常にやってる研究を知る→｢新しい数発見して世界驚かせようぜ！｣←新しい論法を研究してるのが数学者
2chｽﾚ:math
↓参考追記物理板
9 poem 225/08/30(土) 13:37:41.14
一言言います
適当な名言です
｢無秩序なごった煮は陰謀論者と同じかも｣
｢陰謀を働く学問は一つ巴ではないのじゃ｣
2chｽﾚ:sci
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