[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
83(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 11:55:07.56 ID:Kqr4zqHs(2/4) AAS
>>78 補足
下記は、見ておくのがよさそう
(参考)（”Hausdorff's Maximal chain Condition”と”Tukeyの補題”は、有名なので 知っておくべきでしょう）
https://alg-d.com/math/ac/
alg-d 壱大整域
https://alg-d.com/math/ac/zorn.html
Zornの補題・極大原理 2015年12月20日
定理1 次の命題は(ZF上)同値．
1.順序集合Xが「Xの鎖には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
6.有限性をもつ非空集合Xは(⊂に関する)極大元をもつ．(Tukeyの補題)
8.任意の順序集合(X, ≦)は極大鎖を持つ．(Hausdorff's Maximal chain Condition)
証明
略す
99: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 20:51:05.51 ID:KN6t4rnq(1/3) AAS
>>83 追加
下記も知っておく方が良い
特に
1.任意の集合は整列可能．
↓
2.任意の全順序集合は整列可能．
↓
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
これ、Jechの証明は、冪集合 P(X)を利用して 集合 Xの整列可能をしている
一見その逆の主張だね、面白い ；ｐ）
(参考)
alg-d.com/math/ac/wot.html
alg-d 壱大整域
選択公理 > 整列可能定理について
2012年08月05日
定理4 次の命題は同値
1.任意の集合は整列可能．
2.任意の全順序集合は整列可能．
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
4.順序数αに対して P(α) も整列可能．
証明 (1⇒2) 自明
(2⇒3) (X, ≦)を整列順序集合とする． P(X) に二項関係 < を
A<B ⇔ ある a∈A＼B が存在して任意の b∈B＼A に対して a<b
で定める．これによって P(α) が全順序集合になることを確かめる．
(i) ¬A<A について．
A＼A= ∅ なので明らか
(ii) A<B ⇒ ¬B<A について．
A<Bとすると < の定義より，あるa0∈A＼Bが存在して「任意の b∈B＼A に対して a0<b 」となる．よって明らかに ¬B<A である．
(iii) A<B または A=B または B<A について．
A≠B とすると，X は整列順序集合だから a := min( (A＼B)∪(B＼A) ) が存在する．勿論 a∈A または a∈B であるが，明らかに a∈A ならば A < Bで，a∈B ならば B < A である．
(iv) (A<B かつ B<C) ⇒ A<C について．
¬A<C と仮定する．A=C だとすると A<BかつB<A となり(ii)に反するので A≠B である．故に(iii)から C<A である．A<B, B<C, C<A より
(1) 任意の b∈B＼A に対して a0 < b
(2) 任意の c∈C＼B に対して b0 < c
(3) 任意の a∈A＼C に対して c0 < a
を満たすa0∈A＼B, b0∈B＼C, c0∈C＼Aが存在する．a0∈A＼Cである．
∵ a0 ∉ A＼C と仮定する．即ちa0∈Ac∪Cである．a0∈A＼Bだったから a0 ∈ (Ac∪C)∪(A＼B) = A∪C＼B ⊂ C＼B である．よって(2)により b0 < a0．従って(1)から b0 ∉ B＼A でなければならない．すると同様の議論を繰り返して a0 < c0 < b0 < a0 が導かれ，矛盾．
同様にしてb0∈B＼A, c0∈C＼Bである．従って(1)(2)(3)から a0 < b0 < c0 < a0 となり，矛盾する．
以上より(P(X), <)は全順序集合である．よって，仮定より整列可能である．
(3⇒4) 明らか．
以下略す
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.053s