ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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79(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 11:25:44.20 ID:Kqr4zqHs(1/4) AAS
>>64-65
ID:bvvTKD+8 は、御大か
巡回ご苦労様です

なるほど
ご指摘の思い当たる点を自分で赤ペンすると

(引用開始)
>>15で示した例示ミニモデルで集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
これで包含関係で順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
(引用終り)

１）ここの素朴（ナイーヴ）な議論が、まずいってことですね
２）つまり、無限集合では
　ヒルベルトホテルのパラドックスが起きる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
　例えば、順序数ω から一つ減らしても ωのままです（順序数の演算ご参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 ）
３）この素朴な議論を、ZFC内で正当化したのが >>14の alg-d 壱大整域氏の証明で
　そこで必要なのが　１）選択公理（及びそれと同値のZorn補題）２）順序数との対応付け
　ということですね
　これによって当初の素朴（ナイーヴ）な議論のスジが、ほぼZFC内の議論に変換できている
４）ここで、注目すべきは冪集合 P(X)には、⊃ による順序構造とか
　X={a,b,c,d}を頂点にして最底辺が空集合∅ という階層構造とかがある（一方 X自身にはそういう構造の仮定はない）
　ここらを潜在的な構造としてうまく ZFC内で正当化しているのが、 >>14の alg-d 壱大整域氏の証明です
　なお >>37のツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明も同様です

80(2): １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:41:27.36 ID:RHKFtm92(4/12) AAS
>>79
P(X)-{φ}={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d}}

として、選択関数ｆが
f({a,b,c,d})=c
f({a,b,d})=d
f({a,b})=b
f({a})=a
なら、整列はc<d<b<a となる
で、他のP(X)-{φ}でのfの値をどう設定しても整列に影響しないが、もし
f({a,b,c,d})=a
とすると、今度はf({b,c,d})の値が必要となる　さらに
f({b,c,d})=b
とすると、f({c,d})の値が必要となり、
f({c,d})＝c
とすると、f({d})＝dだから、整列はa<b<c<dとなる

要するにそういうこと　これは別にXが無限でも同じ

81: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:45:28.25 ID:RHKFtm92(5/12) AAS
>>79
Xが無限のとき、整列に対応する順序数は一意ではない

たとえばXが可算なら、整列に対応する順序数として、任意の可算順序数がとれる

そしてどういう可算順序数になるかは、選択関数fで決まる

>例えば、順序数ω から一つ減らしても ωのままです

順序数の差なんて、リンク先に書かれてないが・・・幻視？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0#%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%BC%94%E7%AE%97

82: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:50:53.73 ID:RHKFtm92(6/12) AAS
>>79
なぜ、有限だと選択公理が不要で、無限だと選択公理が必要か、わかるかい？

ヒルベルトホテルのパラドックス？　全然違うよ

答えは、無限回の操作なんて不可能だからだよ

選択公理であらかじめ空でないすべての部分集合とその要素の対応の集合を用意するのは１ステップ
また、順序数との対応づけも、帰納的定義だから１ステップ
どちらも無限回のステップなんてないから、論理的に正当

意味わかる？

85(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 12:00:59.32 ID:oyw47Vnz(7/15) AAS
>>79
>>例えば、順序数ω から一つ減らしても ωのままです
ωは後続順序数でないからωの前者となる順序数は存在しない。

相変わらず口を開けば間違いばかりだね。もう口閉じたら？

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