[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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34(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/02(日) 12:50:50.69 ID:5scbwZz/(3/12) AAS
>>33補足
>>28
(引用開始)
>Xの元を すきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)
赤 摂也 貼っておきます
『整列可能定理 とは, 次の命題のことに他ならない.
(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る』
これで すきな順番に → 適当に関係≦を定義して
と書き換えれば、赤 摂也の 整列可能定理になる
”すきな順番に”が、不適当でない限り
整列可能定理の射程内ですよ ；ｐ）
(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/3/5_3_103/_article/-char/ja/
科学基礎論研究/5 巻 (1960-1962) 3 号/書誌
選択公理をめぐって
赤 摂也 1961 年 5 巻 3 号 p. 103-108
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/3/5_3_103/_pdf/-char/en
選択公理をめぐって 赤 摂也 科学基礎論研究/5 巻 (1960-1962) 3 号
順序集合は
(6) 空でないいかなる部分順序集合.最小元を持つという条件 をみたすとき,整列集合といわれる.
整列可能定理 とは, 次の命題のことに他ならない.
(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る.
(A),(Z),(W)の同等性の証明については, たとえば拙文 〔1〕を見ていただきたい.
(余談ですが 貼ります)
定理4(Sierpiｎski)一般連続体仮設は選択公理を含意する.
[1]
文 献 S. Seki ; On transfinite inferences, Comm. Math. Univ. Sancti Pauli, IV, 1955
36: １３２人目の素数さん [] 2025/02/02(日) 13:24:16.38 ID:7z4Dw9JT(6/18) AAS
>>34
>『整列可能定理 とは, 次の命題のことに他ならない.
>(W) いかなる集合も、その上に適当に関係≦を定義して,整列集合にすることが出来る』
>これで すきな順番に → 適当に関係≦を定義して
>と書き換えれば、赤 摂也の 整列可能定理になる
論理記号で書けば∀≦ではなく∃≦だから、その書き換えは大間違い。
∀と∃を取り違えるようでは大学一年の4月に落ちこぼれたのも当然の結果。
>”すきな順番に”が、不適当でない限り
>整列可能定理の射程内ですよ ；ｐ）
どんな順番が不適当なの？
37(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/02(日) 18:25:21.05 ID:5scbwZz/(4/12) AAS
>>34 補足
下記の ツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明
ここでも、空集合以外の部分集合の順序構造を使う（詳しくは下記ご参照）
直感的には、>>15で示した 例示 ミニモデルで 集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
∅ }
これで 包含関係 で 順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
それを、ZFCの証明として書くと 下記です
繰り返すが、上記の例示を 任意無限集合で ZFCの証明として書くと 下記
(参考)
ieyasu03.web.エフシーツー.com/contents/09_Mathematics.html（URLが通らないので検索たのむ）
基礎物理から半導体デバイスまで
集合・位相
ieyasu03.web.エフシーツー.com/Mathmatics/36_Well-ordering_theorem.html（URLが通らないので検索たのむ）
§36 整列定理 2023/04/07
1. 整列定理
ツォルン（Zorn）の補題 [1] を用いて、次のツェルメロ（Zermelo）の整列定理が証明される。以下ではその証明について述べる [2]。
【定理1】（整列定理）
A を任意の集合とするとき、A に適当な順序関係 ≦ を定義して、(A,≦) を整列集合とすることができる。
【証明】A の部分集合上には、一般に、幾通りもの順序関係が定義される。
いま、A の部分集合 W とそこで定義された順序関係 O との組である W を台とする順序集合 (W,O) を考え、
このような組のうち、整列集合となっているものの全体を ｍ とする（図1）。すなわち
略す
【ツォルンの補題】 [1] によって （ｍ,ρ） には極大元 （W0,O0） が存在する。
このとき、実は W0=A でなければならないことが次のように示される。
もし、略
参考文献
1) 「ツォルンの補題」
2) 松坂和夫 数学入門シリーズ1『集合・位相入門』 p.113 岩波書店（2018/11/06）
3) 「整列集合における補題」
4) 「順序集合」
5) 「選択公理」
6) 「整列集合の比較定理」
7) 「集合の濃度」
（上記とほぼ同じ証明の動画）
ヨーツベ/EXPGtoOzpb8?t=1
数学】Zornの補題から整列可能定理を導く！！！【VOICEROID解説】
現役数学科院生・うどん
2022/01/17
(コメント)
@イデアル-d6p
9 か月前
分かりやすいです
@財津匠
2 年前
とても理解の助けになりました！
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