[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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258(4): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 09:54:19.99 ID:jBYaMD3j(4/14) AAS
γ(0,2):=lim_{n→+∞}(1/2+1/4+…+1/(2n)-log(2n)/2)
γ(1,2):=lim_{n→+∞}(1＋1/3+…+1/(2n+1)-log(2n+1)/2)
とおくと、γ(0,2)とγ(1,2)のうち、少なくとも一つは無理数（超越数）である。
なぜか？
γ(0,2)-γ(1,2)=log(2) が無理数（超越数）だから
γ(0,2)とγ(1,2)の両方が有理数（代数的数）であることはありえない。
ちなみに、γ(0,2)+γ(1,2)=γである。
260(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/06(木) 10:02:29.70 ID:jBYaMD3j(6/14) AAS
訂正>>258
>γ(0,2)-γ(1,2)=log(2)
正しくは
γ(0,2)-γ(1,2)=-log(2) または
γ(1,2)-γ(0,2)=log(2)
261: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/06(木) 10:11:50.48 ID:jBYaMD3j(7/14) AAS
>>258の記号で
>γ(0,2) と書いたところは、γ(2,2)とした方がよい。
オイラー・レーマーの定数。
281(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/06(木) 16:03:55.89 ID:jBYaMD3j(8/14) AAS
>>258の議論（mod 2バージョン）は、mod nバージョンに一般化できる。
mod 3の場合を書いてみよう。
γ(0,3):=lim_{n→+∞}(1/3＋1/6+…+1/(3n)-log(3n)/3)
γ(1,3):=lim_{n→+∞}(1+1/4+…+1/(3n+1)-log(3n+1)/3)
γ(2,3):=lim_{n→+∞}(1/2＋1/5+…+1/(3n+2)-log(3n+2)/3)
とおく。ω=exp(2πi/3)のとき
γ(0,3)+ωγ(1,3)+ω^2γ(2,3)=-log(1-ω)
γ(0,3)+ω^2γ(1,3)+ωγ(2,3)=-log(1-ω^2)
γ(0,3)+γ(1,3)+γ(2,3)=γ
が成立する。これは離散フーリエ変換であることに気づくだろう。
287(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/06(木) 17:06:42.35 ID:kjKecCBk(2/3) AAS
>>247
(引用開始)
> 有限連分数展開される実数になる
なぜγが有限連分数展開されると妄想するのかわからん
>>258-260
γ(0,2)とγ(1,2)のうち、少なくとも一つは無理数（超越数）である。
なぜか？
γ(0,2)-γ(1,2)=log(2) が無理数（超越数）だから
γ(0,2)とγ(1,2)の両方が有理数（代数的数）であることはありえない。
ちなみに、γ(0,2)+γ(1,2)=γである。
訂正>>258
>γ(0,2)-γ(1,2)=log(2)
正しくは
γ(0,2)-γ(1,2)=-log(2) または
γ(1,2)-γ(0,2)=log(2)
>>258の記号で
>γ(0,2) と書いたところは、γ(2,2)とした方がよい。
オイラー・レーマーの定数。
(引用終り)
おサルさん、さー、
君のカキコって、気持ちは分かるけど
なにか 数学的に 厳密な主張になっているのかい？？ｗｗ ；ｐ）
１）まず、オイラー定数γは、有理数かどうか不明だから
もし、有理数ならば、『有限連分数展開される』は成り立つよ？ 何を言いたいの？
２）次に、”オイラー・レーマーの定数”は、面白いが下記だな
γ ＋ ｘ （ｘ∈R） が 何か 無理数であることが証明されたとして
確かに、γ と ｘ の どちらかが、無理数で 両方有理数はない
しかし、ｘ が 無理数ならば γの有理性は 否定できないよ■
(参考)(海賊版なのでURL略)
ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
Mathematical Constants STEVEN R. FINCH
First published 2003
1.5 Euler–MascheroniConstant,γ 28
1.5.1 SeriesandProducts 30
1.5.2 Integrals 31
1.5.3 GeneralizedEulerConstants 32
P32
Briggs[105] and Lehmer[106] studied the analog of γ corresponding to the arithmetic progression a,a+b,a+2b,a+3b,...:
γa,b= lim n→∞ 0<k≤n k≡amodb 1 k−1 b ln(n) .
（文字化けあるが直さないので原文ご参照）
For example, γ0,b=(γ−ln(b))/b, Σ a=0〜b−1 γa,b =γ,and
γ1,3=1/3γ+ √3/18π+1/6 ln(3), γ1,4=1/4γ+1/8π+1/4 ln(2).
[105] W. E. Briggs, The irrationality of γ or of sets of similar constants, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 34 (1961) 25–28; MR 25 #3011.
https://www.utgjiu.ro/math/sma/
Surveys in Mathematics and its Applications is a free electronic journal. It is open to all mathematical fields (including Statistics and mathematical applications to Computer Science, Economics, Physics or Engineering).
https://www.utgjiu.ro/math/sma/v16/p16_15.pdf
Surveys in Mathematics and its Applications ISSN 1842-6298 (electronic),
Volume 16 (2021), 259– 274
ON AGENERALIZATION OF EULER’S CONSTANT Stephen Kaczkowski
P260
Anotherprominentgeneralizationofγwhichcanberelatedtoγ(a)istheEulerLehmerconstants[17]givenby γ(a,q)= lim n→∞ n ? 0<k≤n k≡amodq [1 k− ln(n) q ] , (1.4)
where aandq are integers satisfying0<a≤q.
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