[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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111(7): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 00:07:04.95 ID:siKztgRy(1) AAS
>>108
>うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき
分って無いんか？
例を挙げよう
下記 選択公理と等価な命題で、”ベクトル空間における基底の存在”があり
次元定理が導かれる
この応用として、下記に 具体的な
{(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明で
”次元定理による証明”として、極めて簡潔な証明があるよ
直接法と比べて見れば良い
抽象的な存在定理から、具体的なベクトルが その空間における基底であることが証明できる■
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理と等価な命題
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理（英語版）と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。
基底の存在
例
ベクトル空間 R2 を考える
一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。
直接証明
定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと R2 を生成することとを示す。
線型独立性
実数 a, b に対して線型関係
略す
全域性
二つのベクトル (1,1), (−1,2) が R2 を生成することを示すには、いま (a, b) を R2 の勝手な元として、
略す
次元定理による証明
(−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。これを延長して基底が得られるはずだが、R2 の次元は 2 だから、{(1,1), (−1,2)} は既に R2 の基底を成している。
正則行列を用いた証明
略す
112(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 00:34:51.47 ID:kyySIsuH(1/19) AAS
>>111
>抽象的な存在定理から、具体的なベクトルが その空間における基底であることが証明できる
選択関数の存在公理から、具体的な値が、箱入り無数目における確率であることが証明できる
113(2): １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 05:45:01.81 ID:PFLhGe5c(1/10) AAS
>>111
>(−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、
>(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、
>二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。
>これを延長して基底が得られるはずだが、
問１ (2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？
>R2 の次元は 2 だから、
問２ R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？
>{(1,1), (−1,2)} は既に R2 の基底を成している。
問３ 直接法からどんな手間が省けるか、どんな手間が省けないか それぞれ具体的に示せる？
115(2): １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 06:09:10.74 ID:PFLhGe5c(3/10) AAS
実は◆yH25M02vWFhPの>>111は
次元定理の肝心な点について述べてない
だから
「空間の次元の濃度がＯで
濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら
それだけでＢは基底だといえる」
みたいな主張になってるが・・・もちろん真っ赤な嘘である！
116(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 10:56:52.68 ID:+HgMDnV2(1/11) AAS
>>111 補足
これ、典型的な存在定理（公理）の使い方
具体的な R2の線形空間の 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が、基底になっている
言い換えると、 (1,1), (−1,2) を、基底に取れる
証明を見ると、背後の数学の構造が分かる
証明から、基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる
典型例は、 (1,0), (0,1) だが、これが 一例にすぎないことも分かる
選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
(1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない
また、ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね
これ、典型的な存在定理（公理）の使い方
146(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 16:33:49.38 ID:+HgMDnV2(5/11) AAS
>>131
(引用開始)
>>129の「」には反例がある
つまり、線形空間の次元が無限濃度の場合
単に同じ濃度の線形独立なベクトルが張る空間が
元の空間より真に小さい場合があり得る
だから次元定理はもっと精密な言い方をしてるが
◆yH25M02vWFhPは勝手に粗視化してる
有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、
と考えるのはあさはか
(引用終り)
なるほど >>111 の ja.wikipedia 基底 (線型代数学) で
en.wikipedia で 該当の Basis (linear algebra) では
”This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. ”の一言があるね （ja.wikipediaの記述が滑っているか） ；ｐ）
ついでに、”Proof that every vector space has a basis”貼るよ
”This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9]”
(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)
Basis (linear algebra)
This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces.
However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces.
Basis vectors find applications in the study of crystal structures and frames of reference.
つづく
184: １３２人目の素数さん [] 2025/02/05(水) 08:18:00.45 ID:5j19JkQh(1/2) AAS
>>182
> Zorn補題（選択公理）で、
> 線形空間の基底の存在と、
> 次元（基底の集合の濃度を意味する）が決められる
> 基底の存在定理の典型的な、使い方が>>110だね
>>111な 三ケタの数字を覚えられんのか？ この昭和耄碌爺
で、>>112は解けたのか？
線形空間が有限次元なら、選択公理なんか使わんでも、
次元定理なんか直接証明できるぞ●●
大学１年の線型代数で習わんかったか？
ああ、論理がわからんので全く理解できんかったか？
計算方法覚えることしかできん●●公の工学部卒社奴
340(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/07(金) 16:33:40.75 ID:2sO/8ukw(3/6) AAS
>>111
>うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき
分って無いんか？
"∃" （存在記号）について、下記あり
『（少なくとも１つは）存在する』ですね
おサルさんは>>7-10、
”少なくとも１つ(以上)”と強く読まれることをお勧めします
"∃" は、英語では 単数の不定冠詞a と、複数 some 、それに 全称 all の すべてのケースを含みます
（"∃" と書いてある公理があったとして、ある特殊なケースで その対象全てが("∀"に)当てはまったとしても かまいません（場合分けする必要は 全くありません！！））
選択公理の選択関数は、”少なくとも１つ(以上)”で なんら問題なし
選択関数が、100あろうが、1000あろうが・・、可算無限あろうが、非可算無限あろうが、問題なし！ ｗ ；ｐ）
(参考)
https://www.nli-research.co.jp/report/detail/id=64337?site=nli
シンクタンクならニッセイ基礎研究所 >
数学記号の由来について（4）
−論理記号（∀、∃、∴、∵等）− 中村 亮一 コラム2020年04月30日
「∃」（存在記号）の使用及び由来
一方で、「∃」という記号は、「存在記号」、英語で「existential quantifier」と呼ばれている。「∃x；P（x）」と書いて、「P（x）が成り立つxが（少なくとも１つは）存在する」ということを意味することになる。
この記号についても、先のラッセルとホワイトヘッドの著「Principia Mathematica」の中では、「P（x）が成り立つxが存在する」ことを、「（E(x)）P（x）」と表記している。
これに対して、ゲンツェンは、Eと言う文字が他にも（確率の期待値等）使用されていることから、「∀」と類似の考え方から、存在を意味するドイツ語の「Existieren」の頭文字のE（これは、存在を意味する英語の「Exist」の頭文字でもある）を反転させて、「∃」の記号を使うようになった、とのことである。
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