[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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180(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/05(水) 00:12:42.77 ID:Md2R2j9H(1/5) AAS
>>160
>任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
これ、選択公理を使うだろうと思って調べていた
下記 山上滋先生 名大 関数解析入門 『命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する。（全然一意的ではないが。）
Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ』
ですね （＾＾
(参考)
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html
授業記録 山上滋 名大
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/functional/zokuron2017.html
解析学 2017
テキストである 関数解析入門２０１７ の三分の二程を、 進度予定表に沿って行う
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/functional/hilbert2017.pdf
関数解析入門 山上滋 2017
目次
略す
作用素解析とのつながりを意識した関数解析入門である。予備知識としては、フーリエ解析とルベーグ積分の初歩を仮定する。例えば、次の講義ノート程度のことを知っていれば十分であろう
（URL二つ略す）
予備知識以上に大事なのが利用のしかたである。これは、知識とか技能を習得するためのものではない。数学を実践するための題材提供が主たる目的なので、各自の問題意識に応じて、緩急自在にいくつかある課題に取り組んで欲しい。他は、それに至る準備に過ぎない
1．道の糧など
このように、関数の間に「距離」を設定すると、ベクトル空間における内積から導入されるそれと形式上よく似たものであることがわかってくる。このことをより組織的に行うと、微積分の線型代数化、あるいは無限次元線型代数としての解析学、といった側面が見えてくる。これが、関数解析学の基本的なアイデアである。さて、ユークリッド空間の位相については知っていることであろうが、そもそもユークリッド空間とは何か説明できるだろうか
これは、いうなれば、高校以来慣れ親しんできた幾何ベクトルとその内積を逆算的に用いて定義としたもので、卑怯といえば卑怯な方法である。しかし、こう割り切ることで、ユークリッド空間およびその幾何学が実数の性質に帰着するものであることが容易に把握できるようになる。悪くない定義だと思うのだがどうだろうか。なお、こういった形式的な定義が、物理現象（主に光）に由来する空間認識と一致すべき先験的な理由は何もないのだが、非常に良く幾何学的直感となじんでいるのも事実
Ｐ26
略 をみたすとき、正規直交基底と呼ぶ
すぐ後でみるように、この逆も成り立つ
命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する（全然一意的ではないが）
Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ
正規直交基底の濃度を考えているヒルベルト空間Ｈの次元といい、dim Ｈで表す
正規直交基底の濃度は正規直交基底のとり方によらないのであるが、その確認には多少の議論を要する
以下ではとくに断らない限り可算次元のヒルベルト空間を扱うものとする
つづく
181: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/05(水) 00:13:06.95 ID:Md2R2j9H(2/5) AAS
つづき
付録E Kuratowski-Zornの定理
略す
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/surikagaku.htm
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1909.pdf
20 河東泰之， ヒルベルト空間と作用素環，「数理科学」 Vol.57-9, pp.29-35, サイエンス社，2019．
2. 有限次元空間から無限次元へ
略す
(引用終り)
以上
182(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/05(水) 07:51:08.42 ID:Md2R2j9H(3/5) AAS
>>180
>>任意のベクトルを無限個のベクトルの線形結合で表すことである．ヒルベルト空間では，これを実現する正規直交基底を取ることがいつでもでき，有限次元空間とよく似た話が無限次元でも展開できる．フーリエ級数はその具体例として大変重要なものである．
>これ、選択公理を使うだろうと思って調べていた
>下記 山上滋先生 名大 関数解析入門 『命題4.5.ヒルベルト空間の正規直交基底は必ず存在する。（全然一意的ではないが。）
>Proof.基本的なアイデアはの直交化であるが、正式にはのZorn補題を使う。各自、確かめよ』
>ですね （＾＾
＜補足＞
1）Zorn補題は、選択公理と同値
2）Zorn補題（選択公理）で、通常のベクトル空間(基底の有限和)から
基底の無限個のベクトルの線形結合を使う ヒルベルト空間まで
その空間の基底の存在と、次元（ベクトル空間の場合 基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
3）『全然一意的ではないが』 by 山上滋先生 名大
存在のみのZorn補題（選択公理）で、言える
4）その存在定理の典型的な、使い方が>>110だね
同様に、例えば、ヒルベルト空間で ある特別な基底候補を使いたいとき
まず、上記 命題4.5 に照らしてみれば良い
そうすれば、その基底候補が、実際に基底として使えることが分る
フーリエ級数が、典型例>>160
"Zorn補題（選択公理）は、存在しか言えないから 具体的なこと言えない"と思った あなた それ勘違いですよ
存在の公理（定理）だから、適用範囲が広い
そして、ある空間の 基底の存在定理、次元定理から 具体的な 基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
183: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/05(水) 07:52:48.99 ID:Md2R2j9H(4/5) AAS
>>182 タイポ訂正
その空間の基底の存在と、次元（ベクトル空間の場合 基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
↓
その空間の基底の存在と、次元（ヒルベルト空間の場合 基底の集合の濃度を意味する。可算にする場合が多いらしい）が決められる
209: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/05(水) 21:48:23.72 ID:Md2R2j9H(5/5) AAS
メモ貼ります
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
体上の一変数多項式環 K[X]
冪級数
→詳細は「形式冪級数」を参照
非零の項を無限個含むことも許すという別の方向で冪指数を一般化することにより、冪級数が定義される。ここではコーシー積における和が有限和であることを保証するために、冪指数に用いるモノイド N に対していくつかの仮定を課す必要がある。あるいは環のほうに位相を導入して、無限和を収束するものだけに限ることもできる。N として標準的な非負整数全体を選ぶならば問題は何もなく、形式冪級数環を N から環 R への写像全体として定義することができ、和は成分ごと、積はコーシー積で入れることができる。形式冪級数環は多項式環の完備化と見ることができる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
http://yuyamatsumoto.com/
Yuya MATSUMOTO Junior Associate Professor at Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Tokyo University of Science (2023/04 –).
http://yuyamatsumoto.com/ed/kanron.pdf
環論講義ノート
松本雄也(matsumoto.yuya) 2023年03月05日
6 B.2形式冪級数環と収束冪級数環. . . . . 67
B.2 形式冪級数環と収束冪級数環
本小節では環は可換とする． Aを環とする．直積集合A[[X]] := AN に対し，多項式環と同様に加法と乗法を定める
B.2.2 収束冪級数環
Aに適切な構造が入っていれば，冪級数の収束や収束半径を考えることができる．ここではA=Cの場合のみ考える．Cの原点上の近傍での正則関数を考えると，そのTaylor展開が考えられ，収束半径は正の実数または無限大である．r>0に対し，Br :={ n≥0anzn |収束半径はr以上である} とする（条件を言い換えると，limsupn→∞(an)1/n ≤ 1 r である）．Br はC[[z]] の（真の）部分環であり，r < r′ のときBr ⊋ Br′である．また，r≥0に対し，Br+:= s>rBsとおくと，Br+もC[[z]]の（真の）部分環であり，r>0に対しBr ⊋Br+である．これらの環の元に有限個の負冪の項を加えた級数からなる環も考えられる（形式ローラン級数の場合と同様に，1元zによる局所化でもある）．
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