ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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111: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/04(火) 00:07:04.95 ID:siKztgRy

>>108
>うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき

分って無いんか？
例を挙げよう
下記 選択公理と等価な命題で、”ベクトル空間における基底の存在”があり
次元定理が導かれる

この応用として、下記に 具体的な
{(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明で
”次元定理による証明”として、極めて簡潔な証明があるよ
直接法と比べて見れば良い
抽象的な存在定理から、具体的なベクトルが その空間における基底であることが証明できる■

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理と等価な命題
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)
任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理（英語版）と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。

基底の存在
例
ベクトル空間 R2 を考える
一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。

直接証明
定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと R2 を生成することとを示す。
線型独立性
実数 a, b に対して線型関係
略す
全域性
二つのベクトル (1,1), (−1,2) が R2 を生成することを示すには、いま (a, b) を R2 の勝手な元として、
略す

次元定理による証明
(−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。これを延長して基底が得られるはずだが、R2 の次元は 2 だから、{(1,1), (−1,2)} は既に R2 の基底を成している。

正則行列を用いた証明
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/111

908: １３２人目の素数さん [] 2025/02/14(金) 13:58:15.95 ID:PWoDQ15e

つづき

彼こそ後に数学の天才として世界の数論の世界に革新をもたらした新谷卓郎君である。そして、吉田君と新谷君（吉村太彦君も後に加わったが）と３人で神田の神保町の古書店に行き、四方堂、明倫館などで数学や物理の洋書、とくに黄表紙と呼ばれたシュプリンガー社の本、場合によっては上海版と言われた洋書のコピー本を買い求めた

吉田君の思いで ２
私は、千葉市内の公立中学である緑中に通っていた。そこで、Ｎさんという大変活発な女子学生がいた。マドンナというより、ガラッパチであったが成績はよく、３年の終わり頃になると、越境して東京の入学試験を受け、都立日比谷高校に受かったそうだ。昔の日比谷高校は半分近くが東大に入るという空前絶後の進学校であった。私は大学の１年生になってから真面目に１限から出るべく早起きして、７時前には西千葉駅についた。そして国電に乗って秋葉原、渋谷を経由して東大教養学部前駅まで１時間40 分かけて通っていた。ある朝、プラットホームで電車を待っていると「イイちゃんじゃない」と言って、中学生の頃ガラッパチの女子学生だったＮさんが声をかけてくれた。日比谷でもまれたせいであろう、すっかり垢抜けしていて、私は田舎の高校を出た大学生にすぎないことを自覚させられた。彼女は東大の理科２類に入っていたのだ。これにはびっくりした。昔の知り合いなので、彼女は饒舌に語りかけてきた。「理１の○○君は、どこどこ教授のおぼっちゃまなのよ、そう言えば、君のいる理１の組には、吉田茂のお孫さんがいるじゃない」

こうしてごく自然に、吉田健介君が吉田茂のお孫さんということが分かった。これにはびっくりしたが、なるほどそうだろう、と納得させらることも多かった。大学生になっている私たちにとって、親がどうの、祖父がどうの、など関係のないことではあったが、新谷君があるとき、「そういえば、吉田君の計算用紙は原稿用紙の裏紙を使っていますよ」と言ったことがあり、状況証拠があがったのだ。新谷君の父上も東大の工学部卒の技術者で、たしか四日市の工場長を務めていたと思う。あるとき、新谷君は父の書棚に『解析概論』があった、と言って古い『解析概論』をもって来た。そのときは、少しうらやましかった。当時は、吉田茂は超有名人で、吉田健一も有名な存在だった。健介さんはそれが重荷に思ったこともあったのだろうと思う。しかし、私たちの間で話題になったのは、原稿用紙の裏紙の件だけだった。

吉田君の思いで3
私は２００６年12月に「いいたかないけど数学者なのだ」という本をＮＨＫから出した。
その目的は、夭折の天才：新谷卓郎君を世に紹介することだった。
本では、Ｓ君という名前で新谷卓郎君を出し、Ｙ君という名で吉田健介さんを紹介している。
その当時の交流の様子が出ているので一部抜粋する。
Ｓ君の読書ノートの感想 （「いいたかないけど数学者なのだ」から）
Ｓ君は大学の数学の勉強を始めたのは比較的遅かったが、始めてみればその勉強ぶりはきわめて堅実であり、すごかった．『三国志』のような本でも、彼は詳しく読むので読書のスピードが遅い．私の２倍くらいの時間がかかるのだが、内容を実に詳しく覚えていて、詳細に内容を話してくれる．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/908

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