[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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14(13): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2025/02/01(土) 17:57:40.68 ID:lDxwqd7y(12/16) AAS
前スレ 再録
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/907
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)
これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を 導入しているんだ
で、写像 g の全単射を 言う
なるほどね
そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに）
(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．
α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
よってこれによりXを整列する事ができる．
(2 ⇒ 3)略す
(3 ⇒ 1)略す
おまけ
(2⇒1)略す
27: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 20:06:52.68 ID:YIkJbYsl(11/11) AAS
あと任意の選択関数ではダメな命題の例を早く答えてね
87(2): １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 14:48:21.68 ID:Kqr4zqHs(3/4) AAS
>>80
原理はその通り
>>14の alg-d 壱大整域氏 の証明は
それを ZFCのルール中で 構成している
116(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 10:56:52.68 ID:+HgMDnV2(1/11) AAS
>>111 補足
これ、典型的な存在定理（公理）の使い方
具体的な R2の線形空間の 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が、基底になっている
言い換えると、 (1,1), (−1,2) を、基底に取れる
証明を見ると、背後の数学の構造が分かる
証明から、基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる
典型例は、 (1,0), (0,1) だが、これが 一例にすぎないことも分かる
選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない
(1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない
また、ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね
これ、典型的な存在定理（公理）の使い方
212: １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 04:45:26.68 ID:aNn7qWpe(1/11) AAS
>>210
理解できてないから自分の言葉で書けずコピペでごまかす
劣等大学生あるある
243(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 08:57:45.68 ID:jALT4s+C(1/8) AAS
もし
lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n)＝∞
lim_{n→+∞}log(n)＝∞
なのに
lim_{n→+∞}(1＋…＋1/n−log(n))＝γ
なのが病的というなら
そもそもその感覚が稚拙
355: １３２人目の素数さん [] 2025/02/07(金) 18:07:36.68 ID:lSTbv6lI(6/7) AAS
＞おサルさんは一体誰と戦ってるの？
無能で怠惰で嘘つきな醜い真実の自分じゃね？
471(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 00:10:39.68 ID:91wxmWNw(1/23) AAS
>>ID:erxXzwp/
・・{{{}}}・・とかいう訳の分からいものと違って。
608(1): １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/10(月) 20:07:53.68 ID:KhO7fgYD(6/6) AAS
検索屋さんは探してきてくれｗ
673: １３２人目の素数さん [] 2025/02/11(火) 16:37:10.68 ID:rIYMem46(2/6) AAS
どこぞのアホが思ってもない礼なぞ言うから拗らせてんじゃん
706(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/11(火) 18:52:51.68 ID:xoFIjB4w(12/14) AAS
表現論には
線形代数だけでなく
フーリエ解析の素養も必要なのでは？
738(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/12(水) 01:14:54.68 ID:gaOrjQxS(1/14) AAS
>>734
>1列の場合に矛盾ありです
君、馬鹿なの？
出題列を複数列に並べる戦略なんだから、そもそも「1列の場合」が無い
886: １３２人目の素数さん [] 2025/02/14(金) 05:16:04.68 ID:vHlEN/cV(1/18) AAS
>>884
そうそう
948: 雑談 ◇yH25M02vWFhP ＝現代数学のオチコボレ [] 2025/02/15(土) 09:50:05.68 ID:36YscTpw(12/27) AAS
> 他の証明と照らし合わせるのが良い、というか 常用のスジだ
でもどの証明も何言ってるのかわからんので、結局何一つわからん
というのが神戸のセタ君のお定まりのスジ
違うかい？ 図星だろ？
960: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/15(土) 10:59:51.68 ID:XknlDm4+(5/10) AAS
>>959 タイポ訂正
じゃあ、おっさんどれだけ 基礎論 詳しいんだ？ と思ったら、このサマか
笑えるます ｗｗｗ ；ｐ）
↓
じゃあ、おっさんどれだけ 基礎論 詳しいんだ？ と思ったら、このザマか
笑えます ｗｗｗ ；ｐ）
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