ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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142: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 16:04:36.10 ID:+HgMDnV2(3/11) AAS
つづき

英 wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem
Rank–nullity theorem
(google訳)
ランク-ヌル定理（階数零定理）
階数零定理は線型代数学の定理であり、次のことを主張します。
略す
したがって、等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
（原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）

再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。

より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
略す

A third fundamental subspace
When T:V→W is a linear transformation between two finite-dimensional subspaces, with
n=dim(V) and m=dim (W) (so can be represented by an m×n matrix M),
the rank–nullity theorem asserts that if T has rank r, then n−r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of T.
In some texts, a third fundamental subspace associated to T is considered alongside its image and kernel: the cokernel of T is the quotient space
W/Im(T), and its dimension is m−r.
This dimension formula (which might also be rendered
dim Im(T)+dimCoker(T)=dim(W)
together with the rank–nullity theorem is sometimes called the fundamental theorem of linear algebra.[7][8]

再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。
より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
0→U→V→R→0
はベクトル空間の短完全列であるので、
U⊕R≅Vしたがって
dim（U）+ dim（R）=dim（V）.
略す
We see that we can easily read off the index of the linear map
T from the involved spaces, without any need to analyze
T in detail. This effect also occurs in a much deeper result: the Atiyah–Singer index theorem states that the index of certain differential operators can be read off the geometry of the involved spaces.

つづく

152: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 17:01:30.10 ID:6TW5wyv6(2/3) AAS
>>151
＞選択公理は無限集合限定という制約はない
　選択公理をつかわなくても証明できる場合に
　選択公理をつかうのは工学部卒のオチコボレの貴様だけ

310: １３２人目の素数さん [] 2025/02/06(木) 20:48:50.10 ID:SWnYLHJh(11/14) AAS
>>305
>数学の公理とは？：人（＝人類）が、数学の理論を展開するためのルールです。
違います。公理とは証明無しで真と認める命題です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？

492(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 08:16:11.10 ID:6fwmQoR3(17/75) AAS
>>491
ここは便所ではないので💩禁止ｗ

568: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 12:48:06.10 ID:iAXKqUnd(4/6) AAS
>>487
>　あたかも、ノイマン構成のω=N={0,1,2,・・,n,n+1,・・} に、前者が存在しないのと同じだよｗ；ｐ）
ωは後続順序数でないから前者が存在しないのは当たり前。
しかしωの元は自然数全体であり、そこが{・・{{{}}}・・}_ωなる訳の分からないものとまったく違う。

598(1): １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 19:18:00.10 ID:mmxYF8sw(10/11) AAS
ここは面白い↓

選択公理よりも真に弱いハーン–バナッハの定理からバナッハ＝タルスキーのパラドックスを導くことができる。

600: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 19:26:57.10 ID:6fwmQoR3(72/75) AAS
>>598
双曲平面なら選択公理もハーン・バナッハもいらない
直接、分割が構成できるから　しかし実に面白い
要するに選択公理もハーン・バナッハもパラドックスの本質ではない

646: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/11(火) 10:33:10.10 ID:z8otUnNc(9/11) AAS
Hを空間として、ΓをHに作用する群とする。
a,b∈Hが、Γの作用で移り合うときa〜bとして同値関係を入れる。
商空間 H/Γ は一般的にはよく分からないものになり
同値類の代表系は選択公理で存在が保証されるだけ。
が、（古典）数学において重要な多くのケースは、H/Γ
が「良い構造」を持つ場合で、そのときは代表系が具体的に
構成される。基本領域とはそのような代表系。
これが「選択公理なしで成立」ということ。

682: １３２人目の素数さん [] 2025/02/11(火) 17:35:46.10 ID:MW1+hP7T(32/61) AAS
>>680
> ふっふ、ほっほ

　この気持ち悪い笑いのあとに続くのは
　大体幼稚なたとえ話と相場が決まっている

> ZFCを、コンピュータプログラミング言語と、思いなよまあ、C言語とかね
> C言語はあくまでプログラミング言語だろ？
> 何が言いたいか？つまり、何かの課題があって、
> それを C言語とかのプログラミング言語に落とすとき
> 人は、自然言語で考える

　ほら、だんだん幼稚になってきたぞ

　日本語プログラミング言語もあり得るが
　当然ながらなんらかの形式化は必要　意味が明確にならないからね

> 「何かの課題」とは、目の前の現実であって
> それを一旦自分なりの言語化をするだろ？
> 自然言語でね。無意識でやっていることも多いだろう

　こういうナイーブな話をする奴は
　大体バグだらけのプログラムを書く

> その後で、自然言語とか自分の内心で消化したものを、
> Cとかプログラミング言語に落とす
> その前に、フローチャートとか全体の設計があるだろう

　フローチャート！　構造化以前のレベルだなｗ

　フローチャートではいわゆるスパゲッティプログラムを阻止できない
　ループの構造を統制するのは、バグのないプログラムを書く第一歩
　これできない奴は、行列の階段化のプログラム書いてもバグだらけで詰まる

> なので、1950年とか1960年のZFCベースのブルバキ数学原論は、
> 時代が古すぎだと思うよ

　オブジェクト指向がーとか、関数型プログラミングがーとか、いう奴は
　構造化プログラミングとかいうと、時代遅れと笑う

　しかし、実際にはそうではない
　もはや常識となったという意味
　構造化プログラミング同様
　代数構造や位相構造も常識
　そこは集合を基礎とするかどうかとは全然別
　これわからんと馬鹿のたわごとになる

768: １３２人目の素数さん [] 2025/02/12(水) 10:57:04.10 ID:28pImGRZ(2/4) AAS
>>764
>全事象 Ωが、大きすぎ Ωが発散しているとき何が起きるか？
　全然異なる問題で考えても、全然異なる答えが得られるだけで、無意味
>大数の法則とは合わない。大数の法則が成り立たない
　🐎🦌の一つ覚えで大数の法則とかいうのが哀れ　全然見当違い

807: １３２人目の素数さん [] 2025/02/12(水) 19:32:20.10 ID:GYn8T4oZ(8/8) AAS
>>806
小物だな(嘲)

859: １３２人目の素数さん [] 2025/02/13(木) 14:44:32.10 ID:RaWWAier(2/6) AAS
読みにくい

993: １３２人目の素数さん [] 2025/02/16(日) 21:21:09.10 ID:XssMUT1p(10/17) AAS
ケイリー・ハミルトンの定理により、
一般の n次正則行列 A（つまり A の行列式は 0 でない）に対し、
その逆行列 A−1 は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。

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