ツイッタ「ε-δ論法が難しいわけないだろ」 (223ﾚｽ)
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30(25): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:27:14.59 ID:g6P3Bm62(1/38) AAS
たとえば、以下の証明は間違っている。
命題
lim_{n→∞} an = a, lim_{n→∞} bn = bならばlim_{n→∞}(an + bn) = a + b
証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
|(an + bn) - (a + b)|
≤ |an - a| + |bn - b|
< 2ε。□
こういう証明を書いてくる学生は多い。
34(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:40:32.44 ID:xeRxaJy4(6/37) AAS
>>30
これ問題ないんじゃないの？ε/2でやらないとダメとか？
44: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:11:07.53 ID:g6P3Bm62(6/38) AAS
>>30は、特定の箇所が間違っているのではなく、根本的に理解できていない、数学的に無内容な文章。
「ここがおかしい」と逐一指摘して直すのは無意味。
46(6): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:15:38.72 ID:g6P3Bm62(8/38) AAS
>>30の証明が正しいという人は、
fは零点をもつので、f(x) = 0となるxがある。
gは零点をもつので、g(x) = 0となるxがある。
f(x) + g(x) = 0なので、f + gも零点を持つ
とか言ってるようなもの。
50(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:18:30.30 ID:g6P3Bm62(9/38) AAS
>>48
そこは関係ない
>>30の「証明」はまったく証明になっていない
数学的な論理も間違っているし、
示すべき結論を示せていないし、
そもそも論理的に無意味な文章を書いている。
52(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:20:39.38 ID:g6P3Bm62(10/38) AAS
>>49
>>30が正しく見えるのは、書かれてないことを脳みそで勝手に補っているか、数学が理解できていないということ
前者ならただの早とちりだが、後者なら反省して勉強し直さないとヤバい
56(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:25:59.43 ID:g6P3Bm62(11/38) AAS
>>53は正しい証明
見様見真似で書いたのでなければ>>30との違いはすぐわかるはず
57: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:28:07.32 ID:xeRxaJy4(13/37) AAS
>>56
君めんどくさいね
>>53と>>30は同じことを言っていると見なせないのね
その割に
>>46と>>30を同じに見なすのか
58: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:28:45.18 ID:g6P3Bm62(12/38) AAS
>>55
そりゃ君にとってそうだったというだけ
そもそも>>30は数学的に意味がない文章なので、テストの答案なら当然零点
59(6): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:33:29.08 ID:g6P3Bm62(13/38) AAS
わからないようなので、>>30と論理的に全く同じ「証明」を書こう
何がおかしいかは明白なはず
証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のα > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < α。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のβ > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < β。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
|(an + bn) - (a + b)|
≤ |an - a| + |bn - b|
< 2ε。□
61(13): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:37:31.68 ID:xeRxaJy4(14/37) AAS
>>30
liman=a
であるよと
だから
∀ε∃N∀n>N |an-a|<ε
よと
limbn=b
であるよと
だから
∀ε∃N'∀n>N' |an-a|<ε
よと
(∀ε∃N∀n>N |an-a|<ε)∧(∀ε∃N'∀n>N' |an-a|<ε)
は
∀ε∃N,N'∀n>N,N' |an-a|<ε∧ |bn-b|<ε
を導きますよと
N''=max(N,N')
とすると
∀ε∃N''∀n>N'' |(an+bn)-(a+b)|<2ε
ですよと
63(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:42:37.76 ID:xeRxaJy4(15/37) AAS
>>59
それは全く証明になってないけど？
εを使っているから>>30は証明になっているわけ
(∀α∃N∀n>N |an-a|<α)∧(∀β∃N'∀n>N' |an-a|<β)
は
∀ε∃N,N'∀n>N,N' |an-a|<ε∧ |bn-b|<ε
を導かないしね
それと
lim_{n→∞} an = aより、任意のα > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < α。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のβ > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < β。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
|(an + bn) - (a + b)|
≤ |an - a| + |bn - b|
< α+β
任意のεに対してα+β<εとなるα,βが取れることは自明だから全く咎める必要もない
65: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:43:34.17 ID:ZIBhArJJ(2/3) AAS
>>59が>>30と論理的に全く同じと思ってるなら、
その人は論理が分かってないというか嘘分かりしている
66(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:45:42.29 ID:g6P3Bm62(14/38) AAS
>>30の証明は、ε, N, N'が定義されていない。
εは任意に取った正の数、
Nは条件an→aから取れる自然数、
N''は条件bn→bから取れる自然数
であること明示しなければいけない。
そして、結論を示すにはεに依存してN''が取れることを示さなければいけない。
これを「文脈からわかるからオーケー」という人は、>>59がおかしくないと言ってるのと同じ。
「数学的に正しい」と言ってしまうのは、>>46と同じ。
67: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:47:40.83 ID:xeRxaJy4(17/37) AAS
>>46
>fは零点をもつので、f(x) = 0となるxがある。
>gは零点をもつので、g(x) = 0となるxがある。
>f(x) + g(x) = 0なので、f + gも零点を持つ
>
>とか言ってるようなもの。
∀εと∃xとを混同しているでしょ
(∃x f(x)=0)∧(∃x g(x)=0)
は
∃x (f(x)=0)∧(g(x)=0)
を導きませんよ
>>30の証明は∀εだから問題ないわけ
69: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:49:25.60 ID:xeRxaJy4(18/37) AAS
>>66
>>30が∀εで話を進めている
問題ない証明だと考えないのは
全然間違ってるというか細かすぎ
78: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:56:15.05 ID:xeRxaJy4(21/37) AAS
>>74
だから>>61に書いた通りよ
>>30は>>61という論理展開だとわからないか
わかってやろうとしないのは細かすぎるね
81: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:58:48.03 ID:g6P3Bm62(18/38) AAS
数列の収束性は、任意のε > 0に対して、ある条件をみたすδ > 0を対応させる関数δ = δ(ε)の存在のことだ。
>>30の「証明」をふりかえる。
> lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
>lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
上記の2つで、Nが依存しているεと、N'が依存しているεは同じものとは限らない。
そして、
> N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
以降には、εの定義がない。よって、N, N'も定義されない。
99: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:14:48.65 ID:xeRxaJy4(28/37) AAS
>>97
もしかして>>61もわかってない？>>30と同じなんだけど
130: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 12:00:13.64 ID:5onPtPN6(1) AAS
わからない人がいるかも知れないので、ここまでに出ている「証明」を採点しておく
>>30 これは0点（3行目のN, N'および、最後のεが未定義）
>>53 これは正しい
>>59 これはもちろん0点（これは>>30と同じ）
>>61 これは0点（15行目のN, N'が未定義）
133: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 12:14:29.55 ID:9R1fU7Tb(1/3) AAS
>>129
まず、明確化できる云々はε-δ論法とまったく関係がない
そして、「以後省略できる」のではなく、そもそも>>30や>>61では証明で使っている変数が定義されていない
151(1): １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 21:27:25.69 ID:9xToLd+V(3/12) AAS
>∀xP(x)
>と
>∀yP(y)
>の同値性が自明と感じない
>>30と>>59が論理的に同じであることがまさにこれに基づいており、それを否定しているのはID:xeRxaJy4なのだが
167: １３２人目の素数さん [] 2025/01/01(水) 22:46:34.58 ID:5Cgme/7b(15/16) AAS
>>151
>>>30と>>59が論理的に同じ
ではないことに気づいてないよね
171: １３２人目の素数さん [] 2025/01/02(木) 00:05:57.02 ID:rSGahDaD(1/4) AAS
君がねw
>>30は正しい証明だと認めたくないのはわかった
174: １３２人目の素数さん [] 2025/01/02(木) 00:24:15.24 ID:rSGahDaD(4/4) AAS
>>30はこれすなわち>>53と全く同じ流れの証明で
これを間違いとされた学生がかわいそうね
176: １３２人目の素数さん [] 2025/01/02(木) 22:18:39.63 ID:s4bkoHSa(1) AAS
いや、>>30←こういうデタラメな文を書いてくる学生はいるぞ
頭悪い小学生が問題文の数字適当に足したり引いたりするやつの数学科バージョン
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