ツイッタ「ε-δ論法が難しいわけないだろ」 (223ﾚｽ)
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30(25): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:27:14.59 ID:g6P3Bm62(1/38) AAS
たとえば、以下の証明は間違っている。
命題
lim_{n→∞} an = a, lim_{n→∞} bn = bならばlim_{n→∞}(an + bn) = a + b
証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
|(an + bn) - (a + b)|
≤ |an - a| + |bn - b|
< 2ε。□
こういう証明を書いてくる学生は多い。
31: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:28:15.52 ID:g6P3Bm62(2/38) AAS
こういうのが、イプシロン-デルタ論法が理解できてない一例。
文字は読めても意味が理解できてない。
32(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:29:04.03 ID:g6P3Bm62(3/38) AAS
あとは、連続と一様連続、各点収束と一様収束が区別できてないなんてのもそう。
41(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:55:11.94 ID:g6P3Bm62(4/38) AAS
>>34
違う。
42: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 16:55:19.56 ID:g6P3Bm62(5/38) AAS
>>34
違う。
44: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:11:07.53 ID:g6P3Bm62(6/38) AAS
>>30は、特定の箇所が間違っているのではなく、根本的に理解できていない、数学的に無内容な文章。
「ここがおかしい」と逐一指摘して直すのは無意味。
45(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:11:41.30 ID:g6P3Bm62(7/38) AAS
>>43
言えてないよね。
46(6): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:15:38.72 ID:g6P3Bm62(8/38) AAS
>>30の証明が正しいという人は、
fは零点をもつので、f(x) = 0となるxがある。
gは零点をもつので、g(x) = 0となるxがある。
f(x) + g(x) = 0なので、f + gも零点を持つ
とか言ってるようなもの。
50(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:18:30.30 ID:g6P3Bm62(9/38) AAS
>>48
そこは関係ない
>>30の「証明」はまったく証明になっていない
数学的な論理も間違っているし、
示すべき結論を示せていないし、
そもそも論理的に無意味な文章を書いている。
52(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:20:39.38 ID:g6P3Bm62(10/38) AAS
>>49
>>30が正しく見えるのは、書かれてないことを脳みそで勝手に補っているか、数学が理解できていないということ
前者ならただの早とちりだが、後者なら反省して勉強し直さないとヤバい
56(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:25:59.43 ID:g6P3Bm62(11/38) AAS
>>53は正しい証明
見様見真似で書いたのでなければ>>30との違いはすぐわかるはず
58: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:28:45.18 ID:g6P3Bm62(12/38) AAS
>>55
そりゃ君にとってそうだったというだけ
そもそも>>30は数学的に意味がない文章なので、テストの答案なら当然零点
59(6): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:33:29.08 ID:g6P3Bm62(13/38) AAS
わからないようなので、>>30と論理的に全く同じ「証明」を書こう
何がおかしいかは明白なはず
証明
lim_{n→∞} an = aより、任意のα > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < α。
lim_{n→∞} bn = bより、任意のβ > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < β。
N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
|(an + bn) - (a + b)|
≤ |an - a| + |bn - b|
< 2ε。□
66(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:45:42.29 ID:g6P3Bm62(14/38) AAS
>>30の証明は、ε, N, N'が定義されていない。
εは任意に取った正の数、
Nは条件an→aから取れる自然数、
N''は条件bn→bから取れる自然数
であること明示しなければいけない。
そして、結論を示すにはεに依存してN''が取れることを示さなければいけない。
これを「文脈からわかるからオーケー」という人は、>>59がおかしくないと言ってるのと同じ。
「数学的に正しい」と言ってしまうのは、>>46と同じ。
68(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:48:22.78 ID:g6P3Bm62(15/38) AAS
「εを使っているから大丈夫」という人は、xを関数の引数に使ったり、nやiを数列の添字に使ったら以降の文章に現れるx, n, iはすべて同じ数量だと言わなければいけない
70(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:50:03.05 ID:g6P3Bm62(16/38) AAS
ID:xeRxaJy4
もうここまで言ったのだから、自分の間違いには気付いただろう
誰にだって勘違いはあるのだから、誰も君を責めたりはしない
冷静になろう
74(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:52:16.55 ID:g6P3Bm62(17/38) AAS
>>72
そういうことではない。
ここまで説明してマジでわからんの？
81: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:58:48.03 ID:g6P3Bm62(18/38) AAS
数列の収束性は、任意のε > 0に対して、ある条件をみたすδ > 0を対応させる関数δ = δ(ε)の存在のことだ。
>>30の「証明」をふりかえる。
> lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
>lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
上記の2つで、Nが依存しているεと、N'が依存しているεは同じものとは限らない。
そして、
> N'' = max{N, N'}とすれば、n > N''ならば
以降には、εの定義がない。よって、N, N'も定義されない。
83(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 17:59:44.30 ID:g6P3Bm62(19/38) AAS
これを「∀εだから正しい」と言ってしまうのは、一度数列の添字にiを使ったら以降の文章で出てくるiはすべて同じと言っているのと同じだ。
84(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:00:08.18 ID:g6P3Bm62(20/38) AAS
>>80
それは君が勝手に脳内で付け足したにすぎない
86(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:02:27.55 ID:g6P3Bm62(21/38) AAS
>>80
また、最上部に「∀ε」をつけ足したとしても、
> lim_{n→∞} an = aより、任意のε > 0に対して、ある自然数Nが存在して、n > Nならば|an - a| < ε。
>lim_{n→∞} bn = bより、任意のε > 0に対して、ある自然数N'が存在して、n > N'ならば| bn - b| < ε。
はεを再度量化しているので、ここのεは外部のεとは別のものになる。
90: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:07:44.85 ID:g6P3Bm62(22/38) AAS
>>88
それならば「任意のε」は不要
単に「an→aなのでNが存在する」と言えばよい
95(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:12:19.45 ID:g6P3Bm62(23/38) AAS
>>93
違う
97(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:13:50.51 ID:g6P3Bm62(24/38) AAS
一度勘違いでイキってしまったから歯止めが効かなくなっているのかと思ったが、
どうやらID:xeRxaJy4は何も理解できてないらしい
100(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:15:08.23 ID:g6P3Bm62(25/38) AAS
>>96
グローバルにとったεに対して、Nが存在すると言うならば、「任意のε > 0に対して」は不要
101(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:17:42.86 ID:g6P3Bm62(26/38) AAS
もしかして量化ということがわかっていない？
102(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:18:56.76 ID:g6P3Bm62(27/38) AAS
「εを任意にとる。an→aより、Nが存在する」
と
「an→aより、任意のεに対して、Nが存在する」
の違いが理解できてない？
103(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 18:35:51.77 ID:g6P3Bm62(28/38) AAS
「an→aより、任意のεに対して、」と書いたとき、この「εは証明全体で共通のものだ」というのは、どう好意的に捉えても無理だよ
数学の色々なところに支障が生じる
110(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 19:17:38.95 ID:g6P3Bm62(29/38) AAS
>>108
そのεは、その文が終わったあとは未定義。
111: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 19:20:08.64 ID:g6P3Bm62(30/38) AAS
>>106
よくない
関数や数列を考えれば明らか（>>68に書いたとおり）
113(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 19:25:09.28 ID:g6P3Bm62(31/38) AAS
>>112
分かってくれたようで何より
116: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 19:37:17.81 ID:g6P3Bm62(32/38) AAS
もし君が今も数学を続けているなら、不明瞭な記述で色々な人に迷惑をかけている可能性があるから、気をつけよう
117: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 19:39:23.46 ID:g6P3Bm62(33/38) AAS
そういう風に書いてる数学書や論文もあるかも知れないが、悪い例を真似しちゃいけない
118: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 19:51:09.95 ID:g6P3Bm62(34/38) AAS
>>112
また>>110は「俺の考え」ではなく、そう書いたらその意味にしか取れない
勝手な自分ルールを作って常識的なルールを破るのはよくない
119: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 19:55:13.40 ID:g6P3Bm62(35/38) AAS
あえて自分ルールを行使するなら、そうすると明言するか、一階述語論理を使うのをやめるべき
121: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 20:05:41.06 ID:g6P3Bm62(36/38) AAS
>>97でも書いたが、自分の勘違いから他人と口論になってしまって恥じ入る気持ちは分かるが、新たな知見が得られたとポジティブに考えて気持ちを切り替えよう
122: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 20:10:41.30 ID:g6P3Bm62(37/38) AAS
「この文書では∈と⊂を混同して用いますが、意味はわかるから大丈夫」
「この文書では⇒と⇔を混同して用いるが、意味はわかるから大丈夫」
とはならない。意味や用法が確立している記号や術後を自分ルールで使うのは好ましくない。
学生が答案に書いてきたら、当然意味は分かっても零点。
125: １３２人目の素数さん [] 2024/12/31(火) 21:43:14.48 ID:g6P3Bm62(38/38) AAS
>>123
そうやって異分野を敵視することには何のメリットも無いよ
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