背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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109(3): １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火) 10:52:05.50 ID:ytuvmVUS(1/5) AAS
>>108
>背理法と対偶法は思考のロジックとして
>ほぼほぼ同じ内容です>>96
あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）
>>107より
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法 (間接法)
3)背理法 (間接法)
となります
対偶法と背理法とは、同じ間接法に分類されます
古典論理で
１）直接法 P→Q
２）対偶法 ¬Q→¬P
３）背理法 ¬Q⋀P→空(矛盾) (集合では¬Q ⋂ P＝Φ(空集合))
少し補足しましょうね >>107より
いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数
これを、直接法 p→q を示そうとするとき
出発点で使える条件は、”x^2=2” のみ
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
典型例が、連分数の理論です
連分数の理論で、√2が無限に循環する連分数表示を持つことが分かる（下記）
よって、√2は無理数である （”無限連分数が無理数である”ことは、既知として）■
一方、背理法ならば ¬q⋀p→空(矛盾) を示せばいいので
¬q：xは有理数 x＝a/b (a/bは既約分数)
p： x^2=2
つまり、二つの条件 x＝a/b と x^2=2 とが使える利点があります （頻出なので、後は略す）
さて、対偶法です
¬q：x＝a/b → p： x^2≠2
となります
¬q → p： x^2≠2
を示すときに、”x^2≠2”がこのままでは まずい
よって、この対偶命題に 背理法を適用します
そうすると (¬q：x＝a/b) ⋀ (p：x^2=2)→空(矛盾)
とできて、これは 最初の命題 P→Q に対する背理法と 一致します！ （＾＾
なので、”√2が無理数であることの証明”では、背理法が一番簡単
直接法は、連分数の理論など大理論が必要
対偶法は、結局は 背理法 に持ち込むことになるでしょう
これが結論ですｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。
逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。
様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。
2の平方根
√2＝略す
110: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火) 10:56:36.09 ID:ytuvmVUS(2/5) AAS
>>109 タイポ訂正
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
↓
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直接示すには、大理論を持ちだすしかない
111: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火) 11:11:52.53 ID:ytuvmVUS(3/5) AAS
>>109 補足
>なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
>典型例が、連分数の理論です
補足しておきます
下記 無理数 で、無理数判定法があります
なので、√2が無限連分数表示を持つことから、下記の無理数判定法に持ち込んで
『√2は無理数』を示すのが、大学学部レベルの一つの直接証明法でしょう
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0
無理数
無理数判定法
任意の ε > 0 に対して不等式
0<|α−p/q|<ε/q
が有理数解 p/q
を持つとき、α は無理数である。
多くの無理性の証明はこれを用いている。これは α が無理数であるための必要十分条件でもある。
性質
無理数を十進小数で表記すると、繰り返しのない無限小数（非循環小数）になる。これは記数法の底によらず一般の N 進小数でも成り立つ。
α を無理数とすると、
|α−p/q|<1/q^2
を満たす無限に多くの有理数
p/q
が存在する（ディリクレの定理）。
なお、このように無理数の有理数による近似を扱う理論はディオファントス近似と呼ばれる数論の分野に属する。
代数的無理数と超越数
無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。
α が代数的数、κ > 2 ならば、
|α−p/q|<1/q^κ
を満たす有理数
p/q
は有限個しかない（トゥエ−ジーゲル−ロスの定理）[5]。
このことは不定方程式の解の有限性を示すときに使われる。
2の平方根は代数的無理数であり、log2 3, e, π, eπ といった数は超越数である。ζ(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。
→詳細は「超越数」を参照
112: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火) 11:42:27.20 ID:ytuvmVUS(4/5) AAS
>>21 より 背理法の説明再録しておきますね
(引用開始)
・では、背理法は？ (qの否定(¬q)) ・ p ⇒ 矛盾 （空集合Φ、 ”・”は積です）
つまり ベン図で P∩Q^- ＝Φ（空集合）
です
・背理法の利点は、証明に使える条件が増えていること
つまり、p ⇒q の証明は、pのみを使って q を導くのに対して
背理法では、pに加えて qの否定(¬q)も使えて、矛盾 （空集合Φ）を導けば良いってことです。この方が楽な場合があるってこと
(引用終り)
下記2点に詳しい説明がある
（下記 Dr. Valerie Hower youtu.be 百回見てねｗ （＾＾）
(参考)
https://math.libretexts.org/Courses/SUNY_Schenectady_County_Community_College/Discrete_Structures/05%3A_Set_Theory/5.02%3A_Proving_Set_Relationships
LibreTexts
Disjoint Sets
This is an instance where proving the contrapositive or using a proof by contradiction could be reasonable approaches. To illustrate these methods, let us assume the proposition we are trying to prove is of the following form:
If P , then T=∅ .
If we choose to prove the contrapositive or use a proof by contradiction, we will assume that T≠∅
. These methods can be outlined as follows:
The contrapositive of “If P , then T=∅ ” is, “If T≠∅ , then ┐P .”
So in this case, we would assume T≠∅ and try to prove ┐P .
Using a proof by contradiction, we would assume P and assume that T≠∅ .
From these two assumptions, we would attempt to derive a contradiction.
One advantage of these methods is that when we assume that T≠∅ , then we know that there exists an element in the set T .
We can then use that element in the rest of the proof.
We will prove one of th the conditional statements for Proposition 5.14 by proving its contrapositive.
The proof of the other conditional statement associated with Proposition 5.14 is Exercise (10).
Proposition 5.14
Let A and B be subsets of some universal set. Then A⊆B if and only if A∩Bc=∅ .
Proof
略
https://youtu.be/KmAyZOQSp0k?t=1143
Proof by Contradiction (full lecture)
Dr. Valerie Hower
2020/11/08
コメント
@monraet
5 か月前
Thanks Dr. However for all your math videos, they are the best
114: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/10(火) 16:00:04.55 ID:ytuvmVUS(5/5) AAS
>>113
>無理数は、無限小数（非循環小数） との話ありがとう
>この対偶をとると
>無限小数かつ循環小数 または 有限小数 は、
>有理数 って事だ。
ご苦労様です
同意です
１）つまり、例えば ある有理係数 二次方程式の実根について
その根を小数展開できる理論が作れて
その理論で、有限小数か、循環小数か、非循環小数か
その区別が、二次方程式の 係数から判定できる
大理論ができたならば
２）その大理論を使って 方程式 x^2 -2＝0 の根について
非循環小数で表されることが言えて、
『√2は無理数』を直接証明できる
なお、老婆心ながら
小数展開よりも、連分数展開の方が表現力が高いので
連分数展開を経由して、非循環小数は 簡単に言える
連分数展開も、二次方程式までは威力があるが
三次方程式以上は、きれいな式展開ができないらしい
そこは課題だとなにかに書いてあった
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