背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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81: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/01(日) 09:32:35.32 ID:akzgVyU5(1/2) AAS
全くの蛇足ですが
1）>>76 数研出版 数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より『背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
教科書，参考書の書き方である．上の数研出版の教
科書の説明も同じである．』
と記されている
2）しかしながら、>>77に記したように
・命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q
・対偶 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
・背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
とすべき
3）『√2が無理数であることの証明の背理法の構造
命題 p→q に当て嵌めすると
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数』
『対偶 q^- → p^-
の背理法で
q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない)
を導くことが閃く
（これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）』
『そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数
から、x=a/b (既約分数)とおけて
あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ
背理法証明の完成です』
4）さて、証明論として
a)直接法：p→q ベン図ではP ⊂ Q
b)間接法の対偶法 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
c)間接法の背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
となるが
学部レベルの簡単な定理では、このa)〜c) が当てはまる場合が多い
しかし、難しい定理 あるいは xx予想 と呼ばれる命題は、こういう単純パターンに乗らないものがある
例えば、”√2が無理数であることの証明”で、循環する無限連分数で表現できることを使える（下記）
（なお、ja.wikipedia 2の平方根もご参照）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数
様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。
2の平方根
（√2は、循環する無限連分数）
つづく
82: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/01(日) 09:33:16.54 ID:akzgVyU5(2/2) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9
2の平方根
無理数であることの証明
有理根定理を用いた方法 （有理根定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86）
√2 の有理数体 Q上の既約多項式 P(x) = x^2 − 2 を用いる。P(x) は有理根をもつと仮定する
それを x = p/q（p, q を互いに素な整数）と表すと、有理根定理より、p は定数項 −2 の約数、q は最高次係数 1 の約数である。
ゆえに P(x) の根 √2 は整数または無理数である
2 は平方数でないから、√2 は整数ではない。ゆえに、√2 は無理数である。■
(注：これ、『P(x) は有理根をもつと仮定する』としているので、背理法の一種ですよ)
この証明は √2 に限らず一般化して、平方数でない自然数の平方根の無理性を示すことにも使える。
背理法
背理法（無限降下法）を用いた証明を以下に示す。
略す
素因数分解の一意性を用いた方法
略す
背理法を使わない方法
背理法を用いずに証明することができる
ただし、その構想には、背理法による証明過程における、矛盾の発生した点から論理を始めるという点で、直観的ではなく、きわめて形式的である。
（注：背理法被害者の証明法）
略す
(引用終り)
以上
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