背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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74(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 08:21:26.11 ID:9Sqq12HI(1/6) AAS
>>68 追加
www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/stusin_backnum.html
数研出版
数研通信（1号〜50号） 【教授用資料】
3号
背理法の定義について（塩見浩三）見る[102KB]
ですが、発行年が不明
1号
行列の指導について（猪熊正雄）見る[383KB]
の記事から、1号が1985年以降と推察できる
また、36号 1999年12月、37号 2000年4月 などとあるので、4〜5ヶ月に一回の発行と思われ
1年に3回とすれば、1号は 1990年ころかもしれない
5号
高等学校数学科の学習指導要領（案）について見る[123KB]
が、平成6年度より実施される高等学校数学科の学習指導要領案について
とあるので、この記事は平成5年 つまり、1993年か
とすれば、3号は 1993年か1992年かも
75: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 08:24:17.23 ID:9Sqq12HI(2/6) AAS
>>69-73
ご苦労さまですｗ
76(2): １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 08:44:42.75 ID:9Sqq12HI(3/6) AAS
>>74 追加
数研出版
数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より
(引用開始)
数研出版の｢数学I」の教科書では106頁に，√2
が無理数であることの証明を例にして
背理法”とは「ある事柄を証明するのに，まず
その事柄が成り立たないと仮定して矛盾を導き，
それによって事柄の成り立つことを証明する方
法」である．
と書いています．
また，他の参考書には，”背理法〃とは｢証明すべ
き結論を否定して論理を進めていき，与えられた条
件と対立する結論を導き出して矛盾（不合理）を示
す一つの証明方法である」と書いています．
対偶については，186頁に
１命題の真偽は，その対偶の真偽と一致する．
２命題 p→qが真であることを示すために，
その対偶q^- → p^-が真であることを示し
てもよい．
と書いています．
（注： p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様）
背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
教科書，参考書の書き方である．上の数研出版の教
科書の説明も同じである．
しかし，参考書は，対偶法の説明を背理法と考え
ている．
どちらも間違いではないが，定義がどうもあいま
いで，生徒にとって（先生自身にとっても）すっき
りしない説明に終わっているのが現状ではないだろ
うか？
背理法とは,AもB^-も仮定として用いて理論
を進め，他の真理（公理，定理，定義）に矛盾する
ことを引き出す証明法であり，対偶法とはB^-のみ
を仮定として理論を進めて,A^-を導く証明法であ
る．
(引用終り)
思うに、塩見浩三氏が書いているように
”背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
教科書，参考書の書き方である”
”参考書は，対偶法の説明を背理法と考え
ている．”
で、 ”定義がどうもあいま
いで，生徒にとって（先生自身にとっても）すっき
りしない説明に終わっているのが現状ではないだろ
うか？”（塩見）でしょうｗ ；ｐ）
だから>>1 "背理法と対偶って違うの？
同じじゃないの？"
となるのだろう
やれやれ
そこから間違いを正していかないとなると
大変だよ〜ｗｗ ；ｐ）
77(3): １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 09:47:46.38 ID:9Sqq12HI(4/6) AAS
>>66 タイポ訂正
背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
↓
背理法は、
・命題の論理で 「P ＆ Qの否定 → 矛盾」です
さて
>>76 つづき
数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より
（当時の）数研出版の｢数学I」の教科書で
対偶については，186頁に
１命題の真偽は，その対偶の真偽と一致する．
２命題 p→qが真であることを示すために，
その対偶q^- → p^-が真であることを示し
てもよい．
と書いています．
（注： p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様）
(引用終り)
つまり
1）命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q
対偶 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
と教えている
2）そう教えるならば、その流れで
背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
とするべき
「証明すべき結論(上記のq)を否定して論理を進めていき」とするのが正
「ある事柄を証明するのに，まず その事柄が成り立たないと仮定して」は誤
”その事柄が成り立たない”などと、あいまい表現がよくない
”命題 p→q ”としたら、命題の否定とは 結論qの否定とすべき
さて、√2が無理数であることの証明の背理法の構造
命題 p→q に当て嵌めすると
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数
さて、愚直に p→q を考えるとすると
簡単にいえば
これは、pから出発して 三段論法で ギャップなく qに到達すること
しかし、”q：√2 は、無理数”が曖昧だ。そこで 背理法の出番になる
分かり易く 背理法の前に、対偶法を考えよう
q^- ：x=√2 は 有理数
p^-：x^2=2 以外の (正の)実数
と書ける
ここで、”x^2=2 以外の (正の)実数”が数学的には使いづらいので
対偶 q^- → p^-
の背理法で
q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない)
を導くことが閃く
（これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）
つまり、”x^2=2 以外の (正の)実数” よりも ”√2は、x^2=2となる (正の)実数”
が、圧倒的に使いやすい
そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数
から、x=a/b (既約分数)とおけて
あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ
背理法証明の完成です
”あり得ない”が、集合で空集合Φ に対応している
78: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 10:08:33.08 ID:9Sqq12HI(5/6) AAS
>>77 つづき
√2が無理数であることの証明の背理法の構造
を分析してみよう
命題 p→q
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数
ここで、q：x=√2 は 無理数 が、使いづらい
つまり、実数R で 有理数Q は定義が明確で分かり易い
一方 無理数は 実数R中の有理数Qでないものという定義だ
なので
q^- ：x=√2 は 有理数
を使いたい
対偶法と背理法が考えられる
対偶法では
p^-：x^2=2 以外の (正の)実数
が出てくる
これも使いづらい
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
の方がスッキリ
だから、「q^- ：x=√2 は 有理数」と「p：√2は、x^2=2となる 正の実数」の組合せ
背理法による証明がベストなのだ
これを一般化しておくと
命題 p→q の証明で
qの部分が あいまいで使いづらいときに
qの否定（q^- ）を考えると 良い場合がある
このとき、対偶法と背理法が考えられる
対偶法で、pの否定 p^- が使いやすければ
対偶法でも可
しかし、上記の例のように pの否定 p^- が使いにくいときがある
そのときは、pとq^- の組合せの 背理法が良いってこと
上記 ”√2が無理数であること”の証明事例は
背理法による証明がベストです！！
80: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/11/30(土) 14:08:31.59 ID:9Sqq12HI(6/6) AAS
>>79
>・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
ご苦労さまですｗ
ありがと
で、そこな
訂正入れたよ(>>77)
なので
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」
↓
・命題の論理で 「P ＆ Qの否定 → 矛盾」
だ
重箱の隅だが （＾＾
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