[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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565(1): １３２人目の素数さん [] 2024/07/07(日) 10:13:25.90 ID:m37S/9ui(1/4) AAS
佐武一郎著『線型代数学新装版』
p.143のHamilton - Cayleyの定理の証明に無駄な箇所があると書きました。
今日、見直してみたのですが、結構微妙だと思いました。
佐武さんは、
det (x*I_n - A) * I_n
=
(x^{n-1}*B_0 + x^{n-2}*B_1 + … + B_{n-1}) * (x*I_n - A)
=
(x*I_n - A) * (x^{n-1}*B_0 + x^{n-2}*B_1 + … + B_{n-1})
と書けるから B_0, B_1, …, B_{n-1} は A と交換可能である。
だから、
f_A(A) = (A - A) * (B_0*A^{n-1} + B_1*A^{n-2} + … + B_{n-1}) = 0
が成り立つと論じています。
----------------------------------------------------------------------------
ところが、 C が A と交換可能であるとすると、
f_A(C) = (B_0*C^{n-1} + B_1*C^{n-2} + … + B_{n-1}) * (C - A)
が成り立ちます。
A は A と交換可能なので、
f_A(A) = (B_0*A^{n-1} + B_1*A^{n-2} + … + B_{n-1}) * (A - A) = 0
が成り立ちます。
----------------------------------------------------------------------------
ですので、 B_0, B_1, …, B_{n-1} は A と交換可能であることを証明するのはoverkillなのではないかと思いました。
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ですが、 B_0, B_1, …, B_{n-1} はどれも A の多項式です。
ですので、 A と交換可能な行列 C は B_i とも交換可能です。
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overkillともいえないかなと思いました。
569(1): １３２人目の素数さん [] 2024/07/07(日) 17:40:02.55 ID:m37S/9ui(2/4) AAS
佐武一郎著『線型代数学新装版』
部分空間の定義がおかしいという話はよく目にしますが、この本における部分群の定義（p.47）によれば空集合も部分群ということになってしまうためこれもおかしいです。
571: １３２人目の素数さん [] 2024/07/07(日) 19:23:40.34 ID:m37S/9ui(3/4) AAS
佐武一郎著『線型代数学新装版』
第2章の行列式のところを読んでいますが、素晴らしいですね。
多変数の多項式の代数的な話を高木貞治著『代数学講義』で勉強したくなりました。
572: １３２人目の素数さん [] 2024/07/07(日) 19:48:52.24 ID:m37S/9ui(4/4) AAS
『Ideals, Varieties, and Algorithms』という本も読んでみたくなりました。
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