[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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471: １３２人目の素数さん [] 2024/06/22(土) 13:29:49.21 ID:31IeRiT6(1/6) AAS
>>470
お店で見比べると11インチは小さくて見劣りします。
472(1): １３２人目の素数さん [] 2024/06/22(土) 13:31:31.65 ID:31IeRiT6(2/6) AAS
>>466
X は以下の集合です。
Proposition: There is an uncountable set X that is well ordered by a relation < in such a way that:
i. There is a last element Ω in X.
ii. If x ∈ X and x ≠ Ω, then the set {y ∈ X : y < x} is countable.
473: １３２人目の素数さん [] 2024/06/22(土) 13:33:43.42 ID:31IeRiT6(3/6) AAS
>>469
今使っているパソコンの6倍近い価格です。
計算用紙代わりに使うのにはコストパフォーマンスが悪すぎます。
476: １３２人目の素数さん [] 2024/06/22(土) 15:12:55.16 ID:31IeRiT6(4/6) AAS
>>466
e ∈ E に対して、 S_e := {y ∈ Y : y < e} と定義する。
S_e は高々可算な集合である。
S := ∪_{e ∈ E} S_e は高々可算な集合の高々可算個の和集合であるから高々可算な集合である。
Y は非可算集合であるから、 Y - S は非可算集合である。
t := min(Y - S) とする。
t < e を満たす e ∈ E は存在しない。
なぜなら、存在すると仮定すると、 t ∈ S_e ∈ S となるが、 t は Y - S の最小元であったからこれはあり得ない。
よって、すべての e ∈ E に対して、 e ≦ t が成り立つ。
よって、 E は上に有界である。
E が Y の中に最小上界を持つことは Y が整列集合であるから明らかである。
477: １３２人目の素数さん [] 2024/06/22(土) 15:17:47.56 ID:31IeRiT6(5/6) AAS
訂正します：
>>466
e ∈ E に対して、 S_e := {y ∈ Y : y < e} と定義する。
S_e は高々可算な集合である。
S := ∪_{e ∈ E} S_e は高々可算な集合の高々可算個の和集合であるから高々可算な集合である。
Y は非可算集合であるから、 Y - S は非可算集合である。よって空集合ではない。
t := min(Y - S) とする。
t < e を満たす e ∈ E は存在しない。
なぜなら、存在すると仮定すると、 t ∈ S_e ⊂ S となるが、 t は Y - S の最小元であったからこれはあり得ない。
よって、すべての e ∈ E に対して、 e ≦ t が成り立つ。
よって、 E は上に有界である。
E が Y の中に最小上界を持つことは Y が整列集合であるから明らかである。
479: １３２人目の素数さん [] 2024/06/22(土) 18:39:01.86 ID:31IeRiT6(6/6) AAS
齋藤正彦著『数学の基礎』
p.25 定理1.3.15の証明に誤りを発見しました。
p.26の下から2行目の 「b の最大性に反する。」は誤りです。
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