[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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380: １３２人目の素数さん [] 2024/06/15(土) 17:31:46.65 ID:OzBDnxCU(5/10) AA×


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380: １３２人目の素数さん [] 2024/06/15(土) 17:31:46.65 ID:OzBDnxCU H. L. Royden著『Real Analysis Third Edition』 証明は分かりやすいといえば分かりやすいのですが、クセが強いです。 例えば、↓のような感じです。 A を高々可算な集合とする。 A の有限列すべての集合は可算集合である。 証明： (1) A は高々可算であるから N の部分集合との間に全単射が存在する。 (2) 高々可算な集合の部分集合は高々可算である。 よって、N の有限列すべての集合 S が可算であることを示せばよい。 N から N ∪ {0} の有限列すべての集合への写像 f を以下で定義する。 f(1) := <0> n = 2^{x_1} * 3^{x_2} * … * p_k^{x_k}、 x_k ≠ 0 であるとき、 f(n) := <x_1, x_2, …, x_k> f は明らかに単射であるから、 f(N) は可算集合である。 明らかに、 f(N) は S を含む。 可算な集合の部分集合は高々可算であり、明らかに S は無限集合であるから、 S は可算集合である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710406925/380
著 証明は分かりやすいといえば分かりやすいのですがクセが強いです 例えばのような感じです を高可算な集合とする の有限列すべての集合は可算集合である 証明 は高可算であるから の部分集合との間に全単射が存在する 高可算な集合の部分集合は高可算である よって の有限列すべての集合 が可算であることを示せばよい から の有限列すべての集合への写像 を以下で定義する であるとき は明らかに単射であるから は可算集合である 明らかに は を含む 可算な集合の部分集合は高可算であり明らかに は無限集合であるから は可算集合である

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