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239: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/08(月) 15:54:58.10 ID:Iljn+bnt(1/6) AAS
[第１段]：Fを実数の代数的数全体の集合とする
Pを周期環とする
実数体R上の零集合Aを A＝{log(p)| p∈P∩F、p＞0 } とする
或る a＞e なる正の超越数 a∈P が存在して log(a)∈F とする
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理とAの定義から、
log(a) はAに属さない実数だから、log(a)∈R-A である
同様に、任意の p＞e なる正の代数的数pに対して log(log(p))∈(R∩P)-A だから、
a＞e から log(log(a))∈(R∩P)-A である
しかし同様に、a＞e から log(a)＞1 だから、log(a)∈P と仮定したこと及び零集合Aの定義から、
log(a)∈A であって、log(a)∈(R∩P)-A に反し、矛盾する
故に背理法により、如何なる a＞e を満たす正の超越数 a∈P を取ろうとも log(a) はFに属さない
よって、任意の a＞e なる正の超越数 a∈P に対して log(a)∈F であって、log(a) は超越数である
240: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/08(月) 15:59:58.55 ID:Iljn+bnt(2/6) AAS
[第２段]：周期環Pに超越数eが属すると仮定する
超越数eに関する仮定から、周期環Pに属する実数の代数的数1は 1＝∫_{1、e}(1/x)dx
と有理関数 f(x)＝1/x の区間 [1、e] 上で定義される定積分として表され、Fの定義から 1∈P∩F である
また、Fの定義と零集合Aの各定義から、任意のFに属する a＞1 なる代数的数aに対して
有理関数 f(x)＝1/x の区間 [1、a] 上で定義される定積分について
超越数eのときと同様に考えれば、零集合Aの定義と
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理とから log(a)∈P∩A であって、
零集合Aは周期環Pの部分集合である
よって、実数1について 1∈R∩P∩A である
同様に、周期環Pに属する実数0は 0＝∫_[1、1](1/x)dx と
有理関数 f(x)＝1/x の定積分で表されるから、Fと零集合Aの各定義と、
a＝1 のときはリンデマン・ワイエルシュトラスの定理が成り立たないことに注意すれば 0∈R-(P∩A) である
しかし、周期環Pの定義から、実数0について、0∈R∩P だから、0∈R-(P∩A) なることに反し矛盾する
この矛盾は周期環Pに超越数eが属すると仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、超越数eは周期環Pには属さない
故に、任意の周期環Pに属する超越数aについて、有理数体Q上2つの超越数a、eは代数的独立である
特に、π＞e に注意して a＝π とすれば、有理数体Q上2つの超越数π、eは代数的独立である
241: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/08(月) 16:06:09.17 ID:Iljn+bnt(3/6) AAS
[第３段]：同様な議論を再帰的に繰り返せば、e^e は周期環Pに属さない正の超越数である
242: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/08(月) 16:15:19.04 ID:Iljn+bnt(4/6) AAS
コンツェビッチとザギエが予想したeは周期環に属さないであろうという予想は正しいと思われる
πとeの代数的独立性などを調べるにあたっては周期環は便利か
ただ、[第１段]で定義した実数体R上の零集合Aが一般的な使い方ではなくF を P∩F に制限している
243: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/08(月) 16:36:35.71 ID:Iljn+bnt(5/6) AAS
手っ取り早く読める周期やコルモゴロフの複雑性などに関する日本語の周期の解説書があって助かる
これは論文の参考文献になりそうだ
244: １３２人目の素数さん [sage] 2024/01/08(月) 16:43:34.57 ID:Iljn+bnt(6/6) AAS
コンツェビッチとザギエが予想したγは周期環に属さないであろうという予想は果たしてどうなんだか
0＜γ＜1＜e であって、上と同様な議論は通用しないわな
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