不等式への招待 第11章 (203ﾚｽ)
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169(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/20(火) 03:16:43.38 ID:ZHgAlXCy(1/3) AAS
k>6.855 のとき
　(k-5/2)(k-3/2)(k-1/2)(k+1/2)(k+3/2)(k+5/2) < k^6 < (k-16/7)(k-9/7)(k-2/7)(k+5/7)(k+12/7)(k+19/7),

　Σ[k=1,6] 1/k^6 = 1 + 808376609/60^6 = 1.01732631621
　1.01732631621 +16807/1021798800 < ζ(6) < 1.01732631621 + 32/1640925
　1.01734276465 < ζ(6) < 1.0173458174
ζ(6) = (π^6)/945　より
　3.14159250 < π < 3.14159407

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170: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/20(火) 19:38:10.17 ID:ZHgAlXCy(2/3) AAS
>>126
積分を利用する方法
　∫[k,k+1] 1/(x^n) dx ≦ {1/(k^n) + 1/((k+1)^n)}/2,
　1/k^n ≦ ∫[k-1/2, k+1/2] 1/(x^n) dx,
より
　1/(2･7^n) + ∫[7,∞] 1/(x^n) dx < Σ[k=7,∞] 1/(k^n) < ∫[13/2, ∞] 1/(x^n) dx,
　1/(2･7^n) + 1/[(n-1)･7^{n-1}] < Σ[k=7,∞] 1/(k^n) < 1/[(n-1)・(13/2)^{n-1}],

　　　　　下限　　　　　上限
n=2,　　15/98,　　　　2/13
n=3,　　4/343,　　　　2/169
n=4,　　17/14406,　　 8/6591
n=5,　　9/67228,　　　4/28561
n=6,　　19/1176490,　32/1856465

これにより上限を改良できる。　　>>145 169

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171: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/20(火) 20:06:25.32 ID:ZHgAlXCy(3/3) AAS
>>145
　ζ(2) < 1.645235043　(改良せず)
　ζ(3) < 1.202125986
　ζ(4) < 1.082337310
　ζ(5) < 1.036930441
　ζ(6) < 1.017343553　　　>>169

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