初等代数幾何学（スキーム・コホモロジーを用いない） (119ﾚｽ)
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105: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/29(木) 02:27:57.80 ID:vjo/Tp7Z(1) AAS
P (a･cosθ, b･sinθ)　とおく。
0 < b < a/√2 のとき
>>101 から
　PQ = 2ab [a^2･(sinθ)^2+b^2･(cosθ)^2]^{3/2} / [a^4･(sinθ)^2+b^4･(cosθ)^2],
　　 = 2ab [a^2･(sinθ)^2+b^2･(cosθ)^2]^{3/2} / 2D,
　　(とおく。)
　(a･sinθ)^2 + (b･cosθ)^2 = [a^4･(sinθ)^2 + b^4･(cosθ)^2 + aabb] / (aa+bb)
　　　　　　　　　　　　　　= (D + D + aabb) / (aa+bb),
ここで　AM-GM不等式 から
　　(D+D+aabb)^3 = 27aabb･D･D + (8D+aabb)(D-aabb)^2 ≧ 27(abD)^2,
∴　(D+D+aabb)^{3/2} / 2D ≧ (√27) ab/2,
∴　PQ ≧ (√27) aabb / (aa+bb)^{3/2},

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