[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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492(2): １３２人目の素数さん [] 2021/11/23(火) 20:47:05.11 ID:ky+E+9bV(1/2) AAS
>>491
>> 例えば、有限小数の世界では、”0.99999…は１ではない”よね
>目ん玉が幾ら有っても足りません
頭がカラでは、目ん玉が幾ら有っても足りませんよ。再録します
2chｽﾚ:math
まず、何度も引用しているが下記
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
0.999...
超実数
数 0.999… の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, … なる数列の極限であるが、それと異なる定義として例えばテレンス・タオが超極限と呼ぶ数列 0.9, 0.99, 0.999, … の超冪構成（英語版）に関する同値類 [(0.9, 0.99, 0.999, …)] は 1 より無限小だけ小さい
イアン・スチュアートはこの解釈を、「0.999… は 1 よりも『ほんの少しだけ小さい』」という直観を厳密に正当化する「全く合理的な」方法として特徴づけた
(引用終り)
さて、その上で、上記を有限小数環で説明しよう（高等数学とはあんまり関係ないが）
1．有限小数環を構成するやり方はいくらでもあるが、分かり易く、多項式環から始める
（参考：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0 ）
参考より ”注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である”とある
2．普通、係数はある体Kだが、いま都合上整数Zを係数とする
そして、Xに1/10＝0.1を代入する。例えば、p3X^3+p2X2+p1X1+P0→p3*10^-3 +p2*10^-2+p1*10^-1+p0となる
定数項p0があるので、全ての整数を尽くす。また、有限小数を全て尽くすことも容易に分かる
環としての和と積で閉じていることも、同様
この有限小数環をZ[10^-1]とする
3．Z[10^-1]は、有理数Qから10進の循環小数（＝無限小数）を除いた集合であることも、容易に分かる
よって、1/3＝0.333・・・という循環小数は、K[10^-1]には含まれない
4．よって、3*(1/3)＝3*0.333・・・＝0.999・・・＝1
は、Z[10^-1]の中では実現できないが、任意の精度の近似が可能
この結果は、他の数学の成果と何ら矛盾しない
5．矛盾するような感覚になるのは、おそらくは
古代の人類が、有理数Qの分数から数学を発展させて来た歴史的なものによるのだろう
以上
493(1): １３２人目の素数さん [] 2021/11/23(火) 21:00:52.84 ID:ky+E+9bV(2/2) AAS
>>492 タイポ訂正
よって、1/3＝0.333・・・という循環小数は、K[10^-1]には含まれない
↓
よって、1/3＝0.333・・・という循環小数は、Z[10^-1]には含まれない
さて、補足です
整数環Z ⊂ 有限小数環Z[10^-1] ⊂ 有理数体Q ⊂ 実数体R
です
ちょうど
多項式環K[X](有限次数の式) ⊂ 冪級数環A[[X]]（無限次数の式）
に対応した数学的対象を考えることができるのです
有限小数環Z[10^-1]に、無限小数中の循環小数のみを加えると、有理数体Qになり
有限小数環Z[10^-1]に、全ての無限小数を加えると、実数体Rになります
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
?体上の一変数多項式環 K[X]
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 p^k がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X^k の係数が零でないような最大の k のことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
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