[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
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419(6): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:03:38.36 ID:fskC7CH9(1/17) AAS
>>413
まず、大前提として、シングルトンでωを定義したのではなく、
順序数 0,1,2,・・n・・,ωを定義したのです
>>405の通り
多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω
例
fsz(0)＝{}0
fsz(1)＝{{}0}1
fsz(2)＝{{{}0}1}2
・
・
fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n
・
・
fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω
自然数Nは、最大値を持たない
ノイマン構成で、N（＝ω）＝{0,1,2,・・n・・}で、カッコ{}を外すと、0,1,2,・・n・・と最大値を持たない状態になる
同様に、fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ωで、カッコ{}ωを外すと、･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･ と最大値を持たない状態になる
それが、自然数Nの本来の姿
繰り返すが、「大前提として、シングルトンでωを定義したのではなく、
順序数 0,1,2,・・n・・,ωを定義したのです」。集合族（下記）としてね
ωが極限順序数だから、fsz(ω)も極限順序数の性質を受け継ぐ。集合族としてね。しかし、逆ではない
あたかも、オイラー数の定義 e=exp 1=Σn=0〜∞ 1/n! ＝1+1+・・+1/n+・・（下記）で
超越数 e = 2.71828 … は、上記の級数の定義で、「いつ有理数から超越数になった？」みたいなイチャモンつけても仕方ないが如し
それが、自然数Nの本来の姿だから
なお
極限順序数の定義は下記に転写したから、読めば良い
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E6%97%8F
集合族
自然数で添字付けられた（あるいは可算な）集合族は特に集合列（ドイツ語版）と呼ぶ（族 (数学)および列 (数学)の項も参照）。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
ネイピア数（ネイピアすう、英: Napier's constant）は、数学定数の一つであり、自然対数の底である。
e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …
欧米ではオイラー数 (Euler's number) と呼ばれることもある
微分積分学の基本的な関数を使った定義
e=exp 1=Σn=0〜∞ 1/n! ＝1+1+・・+1/n+・・
つづく
420(1): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:04:00.74 ID:fskC7CH9(2/17) AAS
>>419
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 λ が極限順序数であるための必要十分条件は「λ より小さい順序数が存在して、順序数 β が λ より小さい限り別の順序数 γ が存在して β < γ < λ とできることである」と言ってもよい。任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
例えば、任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
順序数に関するフォンノイマンの定義（英語版）を用いれば、任意の順序数はそれより小さい順序数全体の成す整列集合として与えられる。
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・与えられた非零順序数でそれより小さい任意の順序数の上限に等しいもの。(後続順序数の場合と比較すれば、後続順序数より小さい順序数全体の成す集合には最大限が存在する（それは直前の順序数である）から、それが上限を与える。)
・最大元を持たない非零順序数。
・適当な α > 0 によって ωα の形に書ける順序数。つまり、カントール標準形において末項としての有限な数を持たない非零順序数。
・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。
(引用終り)
以上
421(2): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:06:34.98 ID:fskC7CH9(3/17) AAS
>>419 訂正
まず、大前提として、シングルトンでωを定義したのではなく、
順序数 0,1,2,・・n・・,ωを定義したのです
↓
まず、大前提として、シングルトンでωを定義したのではなく、
順序数 0,1,2,・・n・・,ωを使って、ｗに相当するシングルトンを定義したのです
だな
422(1): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:08:31.94 ID:fskC7CH9(4/17) AAS
>>421 訂正追加
繰り返すが、「大前提として、シングルトンでωを定義したのではなく、
順序数 0,1,2,・・n・・,ωを定義したのです」。集合族（下記）としてね
ここもだな。 >>421に読み替えてください
424(6): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:38:35.36 ID:fskC7CH9(5/17) AAS
>>419 補足
(引用開始)
>>405の通り
多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω
例
fsz(0)＝{}0
fsz(1)＝{{}0}1
fsz(2)＝{{{}0}1}2
・
・
fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n
・
・
fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω
(引用終り)
fsz(n)＝{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n を、簡単に{}nと書く
列
{}0,{}1,{}2,・・{}n・・→{}ω
を、考えるというだけの簡単な話であって
一方
ツェルメロが批判されたのは、”多重シングルトン関数で即{}ω”みたいなところで
公理的集合論の立場からは、「ωも出来ていないのに、即{}ωとか、それはまずい」ということ
でも、自然数とωが出来たら、集合族として、fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ωが
考えられるということだ
これを、必死に否定しようとするけど
無理だよ
それに、ツェルメロが批判された 公理的集合論の立場から「ωも出来ていないのに、即{}ωとか、それはまずい」という話とを
混同している
427(2): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:49:29.05 ID:fskC7CH9(6/17) AAS
>>418 >>423
>{{…{{}}…}}
そこ、fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω>>424だよ
だから、{{…{{}}…}}→{fsz(ω)}={{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω}
が対応するよ
{fsz(ω)}は、ω+1が対応するよ
{…{{}}…}は、{{…{{}}…}}の前者ではあるが、
{{…{{}}…}}には、ω+1が対応するよ
（多分、正則性公理を言いたいんだろうが、当てはまらない）
>後者関数 s(x):={x} なんでしょ？君の定義だと
いまの場合、後者関数の前に、
多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω >>405
を定義しているので、そっちを優先的に見てくださいね
勿論、多重シングルトン関数の定義の後に、「ここは後者関数と同じ」という解釈はありだよ
429(3): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 08:57:04.80 ID:fskC7CH9(7/17) AAS
>>426
>カッコの数が無限なら最外または最内カッコは存在できない（存在したら無限の定義に反する）
意味不明
ノイマン構成 N（＝ω）＝{0,1,2・・・}でも
カッコの数は無限ですけど ∵ カッコの数が有限ならば、無限集合Nができない
なお、なんども書いているが
fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω>>424
には、最外及び最内カッコは存在します
433(4): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 09:29:17.15 ID:fskC7CH9(8/17) AAS
>>429 補足
>>カッコの数が無限なら最外または最内カッコは存在できない（存在したら無限の定義に反する）
そういう 「最外または最内カッコ」の存在に拘るのが、子供だよね
算数の1,2,3・・くらいまでは、ありとしても
じゃ、円周率πの「最外カッコ」は どこ？ とか言い出したら、
高等数学は一歩も進まなくなるよ
明らかに、円周率πは、集合論ZFCの中で構成される
抽象的な存在としてね。そこまで行けば、「最外カッコ」とか
子供の思考から脱却しないと、数学科では落ちこぼれるぜ
434(1): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 09:43:17.50 ID:fskC7CH9(9/17) AAS
>>433 補足の補足
図形云々の話があったけど
図形もZFC中で集合として構成できるよ、抽象的にね
例えば、ユークリッド平面があって、これは(ｘ、ｙ) ｜ｘ、ｙ∈R
単位円ならば、ｘ^2+ｙ^2＝1 を満たす(ｘ、ｙ)からなる集合だ
確かに、形式的にはカッコ{}を使おうとすれば、使えるけど
ノートに書かれた単位円の図を眺めて、
集合のカッコ{}を探すのはおろか
ことほどさように、高等数学では、いちいちカッコ{}を探して、
最外カッコがあるとか無いとか、空集合φからどうやって単位円が出来た云々の
子供の幼稚な議論をしていたら、数学科では落ちこぼれるぜ
436(4): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 10:08:25.83 ID:fskC7CH9(10/17) AAS
>>433 補足の補足の補足
>じゃ、円周率πの「最外カッコ」は どこ？ とか言い出したら、
>高等数学は一歩も進まなくなるよ
円周率πなんか、まだまし（πを表す級数の公式でも使えば、なんとかなる）
(0,1)の間の名も無い超越数 r∈R を考える
名無し超越数 rにおいて、これを空集合φから 具体的に書いて
「最外カッコ」を付けるとか、殆ど無意味な議論でしょ
早く、「最外カッコ」とか
子供の思考から脱却しないと、数学科では落ちこぼれるぜ
444(6): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 13:44:34.39 ID:fskC7CH9(11/17) AAS
>>442-443
なんだ、子供が二人か？
(再録)
>名無し超越数 rにおいて、これを空集合φから 具体的に書いて
>「最外カッコ」を付けるとか、殆ど無意味な議論でしょ
ZFC公理系で、集合を構築していくのに、空集合φから出発して、複雑な集合を作る
ここまでは良いよね
簡単な有限集合の場合には、φからの「最外カッコ」の有無が、有効な判定法かもしれない
しかし、複雑な集合ほど、φからの「最外カッコ」の有無という判定法は通用しない
まして、無限集合になれば、φからの「最外カッコ」の有無という判定法は通用しない（πとか超越数の例はそれ>>436）
それって、当然じゃね？
その端的な例が、
ノイマン構成で、N（＝ω）＝{0,1,2,・・n・・}で、カッコ{}を外すと、0,1,2,・・n・・と最大値を持たない状態になる>>419
という話で
この最大値を持たない状態を認めるならば
多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω>>419
で
fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ω となる
ここに、「最外カッコ」は、{}ωで明白に存在するよ
だから、「最外カッコ」判定ならば、fsz(ω)＝{･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･}ωはセーフ>>419
{}ωを外す
･･{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n･･ となる
これは、最大値を持たない状態（個々の要素は有限で列の長さは無限）になるけど、
それはカッコ{}ｎが全自然数を走るゆえの必然でしょ
この存在を、必死に否定しようとするけど
それ、無理だよ
446(5): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 17:37:43.91 ID:fskC7CH9(12/17) AAS
>>401＆>>405(添字付与)より再録と補足
多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω とする（N：自然数の集合）
対応は
数→ Zermelo → Neumann
0 : {}0 → {}
1 : {{}0}1 → {0}
2 : {{{}0}1}2 → {0, 1}
3 :{{{{}0}1}2}3 → {0, 1, 2}
・
・
n :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1}
・
・
ω :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす)
ここで
n :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1}
・
・
の部分は、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのものだ
つまり、∀n∈N でｎは有限だが、列・・の部分は無限長
それは、数、Zermelo とNeumannの3者とも共通だ
で最後の
ω :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす)
で、”･･･”の部分も、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのもの
これが良いとか悪いとか
全くおかしな議論です
そもそもが、無限公理まで導入して、無限集合たる自然数Nを作ったのは
全ての自然数を尽くす列 0, 1, 2,･･,n-1･･･ を作るためだったはず
（それが出来れば、整数環Z→有理数体Q→(Qのコーシー列から)実数体R が構築できるのです）
”･･･” の部分が出来たら、
それが良いとか悪いとか
全くおかしな議論です
447: １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 17:42:11.69 ID:fskC7CH9(13/17) AAS
>>446 補足
の部分は、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのものだ
つまり、∀n∈N でｎは有限だが、列・・の部分は無限長
↓
”列・・の部分は無限長”のところは
>>446の
n :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1}
・
・
と縦に降りる
・
・
の部分のことです
ちょっと分かりにくいかな
448(1): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 17:47:32.54 ID:fskC7CH9(14/17) AAS
>>446 補足
これ面白い
下記図で、”The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements,”だって
ZFCは、現場の数学では使えない。整数の表現でさえ、爆発していますｗ
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
In set theory and related branches of mathematics, the von Neumann universe, or von Neumann hierarchy of sets, denoted by V, is the class of hereditary well-founded sets. This collection, which is formalized by Zermelo?Fraenkel set theory (ZFC), is often used to provide an interpretation or motivation of the axioms of ZFC. The concept is named after John von Neumann, although it was first published by Ernst Zermelo in 1930.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Von_Neumann_Hierarchy.svg/450px-Von_Neumann_Hierarchy.svg.png
An initial segment of the von Neumann universe. Ordinal multiplication is reversed from our usual convention; see Ordinal arithmetic.
Finite and low cardinality stages of the hierarchy
The first five von Neumann stages V0 to V4 may be visualized as follows. (An empty box represents the empty set. A box containing only an empty box represents the set containing only the empty set, and so forth.)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/83/Von_Neumann_universe_4.png/1125px-Von_Neumann_universe_4.png
This sequence exhibits tetrational growth. The set V5 contains 2^16 = 65536 elements; the set V6 contains 2^65536 elements, which very substantially exceeds the number of atoms in the known universe; and for any natural n, the set Vn+1 contains 2 ↑↑ n elements using Knuth's up-arrow notation. So the finite stages of the cumulative hierarchy cannot be written down explicitly after stage 5. The set Vω has the same cardinality as ω. The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.
(引用終り)
以上
450: １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 20:27:01.37 ID:fskC7CH9(15/17) AAS
>>449
>>ZFCは、現場の数学では使えない。
>と思うのは数学知らない中卒の貴様だけｗ
おれは、檜山正幸氏のりだよ
https://m-hiyama.はてなブログ.com/entry/20171024/1508830602
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2017-10-24
現場の集合論としての有界素朴集合論
ZFC公理的集合論の万能性・普遍性は認めたとしても、だからと言って、何でもZFC公理的集合論のなかでやる必要はありません。つーか、そんなことはしません。自然数論は、集合論とは独立な体系内でやればいいのです。必要があれば、ZFC公理的集合論への埋め込み（翻訳）を作ればいいのです。
集合概念が必要な場面では、ZFC公理的集合論が使われているのでしょうか？ -- 使われません。日常的にZFC公理的集合論を使う人なんていない、と言うと言い過ぎだけど、極めて少数です。
我々が日常的に使っている集合論は素朴集合論（naive set theory）です。要するに、直感的でイイカゲンでカジュアルな集合論です。
厳密な定義や公理系を持たない集合論を総称して素朴集合論と呼んでいるので、素朴集合論を定義するのは無理があります。が、素朴集合論を二種類に分けて考えたほうがよさそうです。ひとつはユーザーフレンドリーなZFC集合論、もうひとつは原始集合論です。
ユーザーフレンドリーなZFC集合論とは何か？ -- ソフトウェアで喩えてみましょう； シンプルで強力だが使いにくいプログラミング言語（例えば、仮想機械のアセンブラ言語）があったとします。そこに、スクリプト言語の処理系を載せて、ツールとライブラリもバンドルして、UIも備えたオールインワンのパッケージを作成したとしましょう。ユーザーは元の低水準言語を意識することはないでしょう。一部の好き者は低水準言語を触りたがります。
まー、そんな感じ。この意味の素朴集合論は、直感的かつ安直に使える集合論ですが、頑張ればZFC集合論に“コンパイル”して合理化できます。
454(3): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 23:23:11.24 ID:fskC7CH9(16/17) AAS
>>453
＞最外カッコの無い集合なんてZFのどの公理も認めてませんが？
いや、だから、最外カッコのあるなしを判定基準にしたら
複雑な構成の集合では、必ずしも有効な判定基準にならんよね
ZFCの集合は、空集合φから組み立てられている
特に無限集合で、空集合φから組み立てられた複雑な集合になれば、その判定基準は機能しないだろう
前にも言ったが、超越数πを空集合φから組み立てて、最外カッコを示してみなよ>>444
出来たら、その判定基準を認めてやる
457(2): １３２人目の素数さん [] 2021/11/21(日) 23:51:03.24 ID:fskC7CH9(17/17) AAS
>>451
何を言っているか分からないが
検索すると、下記がヒットした
これかい？
https://m-hiyama.はてなBlog.com/entry/20081016/1224144089
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2008-10-16
あーあ、こりゃダメだわ、郡司ペギオ-幸夫さん
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A1%E5%8F%B8%E3%83%9A%E3%82%AE%E3%82%AA%E5%B9%B8%E5%A4%AB
郡司 ペギオ 幸夫（ぐんじ ペギオ ゆきお、英: Yukio-Pegio Gunji、本名: 郡司 幸夫（ぐんじ ゆきお）、1959年 - ）は、日本の科学者。早稲田大学教授。
目次
1 経歴
2 著書
2.1 単著
2.2 共著
2.3 翻訳
経歴
1978年4月1日 東北大学理学部入学
1982年3月31日 東北大学理学部地質学古生物学教室卒業（理学士）
1982年4月1日 東北大学大学院理学研究科博士前期課程入学
1984年3月31日 同課程修了（理学修士）
1984年4月1日 東北大学大学院理学研究科博士後期課程進学
1987年4月1日 日本学術振興会特別研究員（?同年6月30日）
1987年6月30日 東北大学大学院理学研究科博士後期課程修了（理学博士）
1987年7月7日 神戸大学理学部地球科学科助手
1993年7月1日 神戸大学理学部地球惑星科学科惑星大講座助教授
1999年4月1日 神戸大学理学部地球惑星科学科惑星大講座教授
2014年4月 早稲田大学理工学術院基幹理工学研究科教授（基幹理工学部教授と兼任）
https://researchmap.jp/read0078851
郡司 幸夫
通称等の別名郡司ペギオ幸夫
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