[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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98(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 07:45:19.14 ID:/6i4k5qr(1/12) AAS
判別式
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/
HiroshiのHomePage
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/index_HSR.htm
博想録 目次
(関係ないが付録 http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/05_galois.pdf 5 ガロア
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/26_galois_hosoku.pdf ２６ ガロア補足)
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/43_fermat.pdf
４３ フェルマーの最終定理
(抜粋)
1955年９月、日光で開催された代数論的整数論の国際シンポジウム
で、谷山豊は１つのアイデアを提示した。
『すべての楕円曲線はモジュラーである』
という、当時誰も思いつかなかった突拍子もない予想である。数学の言葉で正確に言えば「有理数体の
楕円曲線のゼータ関数は、上半平面上の重み 2 のある保型形式のゼータ関数である」ということになる
“保型形式”とは、一定の変数変換で不変な性質を持つ、複素数を変数とする関数のことで、楕円曲
線の中で保型形式によって表されるものをモジュラー楕円曲線といい、全ての楕円曲線はモジュラー楕
円曲線であるというのが谷山・志村予想である。
「有理数体の楕円曲線のゼータ関数は、上半平面上の重み 2 のある保型形式のゼータ関数である」が
突拍子もないとはどういうことなのか？
そもそも「楕円曲線のゼータ関数」とは、飛び飛びの数（離散数）を扱う整数論の世界から導かれる
ゼータ関数なのであるが、それが無限級数，微積分や連続した数（連続数）を扱う解析学の世界から導
かれる「保型形式のゼータ関数」に一致することを予想したものだからである。
この谷山・志村予想は２，００１年には完全に証明されたが、最初は全く異なる分野が地下水脈で繋
がっていたというような驚くべきものだったのである。
（この後の楕円曲線の話が、分り易いが略す。興味のある方は、原文をご参照）
ａ^n＋ｂ^n＝ｃ^n となる。
ここで、次のような楕円曲線に着目する。
y^2＝x(x−a^n)(x＋b^n)・・・?
この曲線をフライに敬意を表してフライ曲線と呼んでいる。
つづく
99(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 07:45:38.88 ID:/6i4k5qr(2/12) AAS
>>98
つづき
３次方程式 x^3＋a x^2＋bx＋c＝0 の３つの根をα，β，γとすると、
この方程式の判別式Ｄは、
Ｄ＝〔(β−α)(γ−β)(α−γ)〕^2である。
判別式とはその方程式がどのような根（実根，虚根，重根）
を持つのかを判別するためのもので、
フライ曲線の判別式は
α→0，β→ａ^n，γ→−ｂ^n から、
Ｄ＝〔ａ^n･ｂ^n･(ａ^n＋ｂ^n)〕^2、
ａ^n＋ｂ^n＝ｃ^n だから
Ｄ＝(ａ^n･ｂ^n･ｃ^n)2＝(ａｂｃ)2^nとなる。
つまり、判別式は自然数ａｂｃの 2n 乗である。
このフライ曲線をもとに導かれたゼータ関数は、谷山・志村予想により、重さ２，レベル２の保型形
式になる。そこで、楕円曲線の判別式が２ｎ乗数であるという特殊性を使えば、重さが２でレベルが２
の保型形式が存在するということが証明されてしまう。
しかし、保型形式の理論によれば、そのような関数は存在しないことがわかっているので、
谷山・志村予想が正しければフェルマー予想も正しいことになるのである。
(引用終り)
以上
101: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 08:08:40.17 ID:/6i4k5qr(4/12) AAS
>>98
脱線ですが（＾＾；
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/48_maxwell.pdf
４８「マックスウエル」（20130705）
(抜粋)
私は、大学で電気工学を学んだが、中でも電磁気学は本当に難しかった。正直言ってほとんどわからなかったと言ってもいい。
大学の電気工学科に学生が集まらなくなって久しい。電気工学はもう完成された学問であり、この分
野における発展性は望めない。“電気工学科”ではなく、“電気・電子・情報工学科”というような学科
名にしなければ学生が集まらないのだという。
学生が集まらない要因の一つに、電磁気学の難しさがある。
電磁気学が難しい理由は、
クーロンの法則，アンペールの法則，フアラデーの法則など重要な法則が実験事実としてばらばらに
登場し、これらを天下り的に認める必要があるためと思われる。力学のように認めるべき重要な法則が、
万有引力の法則ただ一つだけなら電磁気学はもっとわかりやすくなるだろう。
もう少し具体的にいうと、
１．クーロンの法則だけが基本法則でないこと。
２．「場」という概念が主役に躍り出ること。
３．「場」の微分や積分の数学がややこしいこと。
４．本質的に相対性原理に基づいていること。
５．光の偏光も電子の自己エネルギーも（本当は）量子論で説明しないとわからないこと。
ということではないだろうか？
電磁気学が理解されにくい理由の一つに、教える内容の組み方の問題もあるかもしれない。電気工学
において電磁気学ほど重要なものはないのだから、その骨格を充分理解させ、そこから発展して自分で
理解にたどり着けるようになっていたらより良いと思う。
電磁気学でまず最初に説明すべきことは、この学問の骨組みであり、電磁気学がすべての電気の基本
でいかに大切なものだということではないだろうか。
大学で勉強した電磁気学に対して、最近やっとその重要性を認識しその本質を理解したいと思うよう
になった。そして、電磁気学とは結局マックスウエルの方程式を理解し、解けるようにすることなのだ
った。
マックスウエルは実験的に電磁誘導を発見したファラデーを讃え
「自分はファラデーの発見を数学の式で表しただけ」と述べ、非
常に謙虚な人として知られている。
102(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 10:28:21.55 ID:/6i4k5qr(5/12) AAS
>>98 脱線
「４３ フェルマーの最終定理」中のポアンカレ予想の説明がちょっと違うな
誤：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『3 次元空間において、破れた穴の空いていない複雑な形をした立体』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『3 次元の球そのものである』ということである。
↓
正：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『4 次元空間において、”破れて穴の空いて”いない 複雑な形をした立体(3次元)』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『4 次元空間中の3次元の球面である』ということである。
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
ポアンカレ予想
（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincare conjecture）とは、数学の位相幾何学（トポロジー）における定理の一つである。3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は
単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2
三次元球面
三次元（超）球面（さんじげんきゅうめん、英: 3-sphere; 3-球面）あるいはグローム (glome[1]) [注釈 1]は、通常の球面の高次元版である超球面の特別の場合である。四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。
つづく
104(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 10:31:06.06 ID:/6i4k5qr(7/12) AAS
>>98 補足
「４３ フェルマーの最終定理」
の
P16
（注２）
ガロア理論（要点のみ）
は、良く書けていると思う
全般的に、「４３ フェルマーの最終定理」は一読の価値ありと思う（＾＾
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