[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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800(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/08(日) 08:16:24.52 ID:rSmWbt0i(4/11) AAS
>>799
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
存在と一意性
・0 := {}
・1:= suc (0)={0}
・2:= suc (1)={0,1}={0,{0}}
・3:= suc (2)={0,1,2}={0,{0},{0,{0}}}
等々である。 この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
形式的な定義
自然数の公理
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc (a):=a∪{a}
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
(引用終り)
注）
x ∪ {x}が、上記ノイマン構成の後者になっているから、
「任意の要素 x に対して その後者を要素に持つ集合が存在する」と読み替えると
無限公理の意味が、明白になる
以上
802(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/08(日) 09:59:31.61 ID:rSmWbt0i(6/11) AAS
>>799 タイポ訂正他
で、Zermeloが批判どう応えたかしらないが
↓
で、Zermeloが批判にどう応えたかしらないが
あと、>>800で
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
(引用終り)
このままの無限公理では、>>799の
"２．基数としては、0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"には適用しにくい
二つ方法がある
１）一つは、n番目の集合Snとして、"0＝Φ（空集合）、1={Φ}、2={0,1}、3={0,1,2}、・・・、n={0,1,2,・・n-1}、・・"を使って
別に、Sn＝{,0,{ 0,1}, {1,2}, ・・, {n-2,n-1} }みたく、ノイマンの後者を作って、それを集めた集合Snを作って、それに無限公理を適用して、無限集合を存在させる
２）もう一つは、無限公理を若干手直しして、
任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する
↓
任意の要素 x に対して {x} を要素に持つ集合が存在する
とすること （これは、逆数学の発想（下記））
まあ、どっちもありだし、重箱の隅で些末な議論の気がするが（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。
しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
805(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/08(日) 10:31:36.64 ID:rSmWbt0i(7/11) AAS
>>802
補足
１．要するに、基数の方から、無限集合たる自然数の集合Nを作って
２．集合Nに対応する順序数の Zermeloシングルトンωを、極限として、抽象的に定義すれば良い
３．ωは、Zermelo法なら、集合としての濃度は１だ。そう定義すればいい。それで良いんじゃ無い？（＾＾
４．因みに、集合{N}は、自然数の集合N ＊）を要素とするシングルトンだよ。それと類似の集合だと思えば良い。但し抽象的な存在のωとしてね
（注＊）N＝ω でもあるけど、 ノイマンならね(>>800より)）
もっとも、自然数の集合Nなるものも、結局は抽象的な存在でしかありえない
「具体的に、集合Nの要素を書けない」という批判は、ノイマンのNに対しても不適当だ
この程度が分からないなら
IUTは無理
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