[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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761(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/05(木) 07:32:30.18 ID:lG01yKE6(1/3) AAS
>>754
蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
∵ 最初は、空集合と公理しか使えないのだから
だから、ノイマンがやったことは、過剰に無限集合ができるが、下記のように
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ
（原論文に当たったわけではないが、他にもそう書かれているのを見たので、多分確かだろう）
（参考）
http://penguinitis.g1.xrea.com/
PENGUINITIS Yuu Kasuga
ノート 数について (PDF)
http://penguinitis.g1.xrea.com/study/note/number.pdf
数について
春日 悠
2020 年 2 月 1 日
(抜粋)
P16
3.3 自然数
略
上の操作を続けていくと，自然数の集合 N を得る．
N = {0, 1, 2, ・ ・ ・ }
これでわれわれが求めるものを得た…とここで安心するわけにはいかない．自然数
の集合 N が確定した瞬間，自然数の次の数が得られる．N に ω という名前をつける
と，その次の数は ω + 1 = N ∪ {N} であり，さらに続く．
略
このようにずっと続いていく．上の操作で得られる集合を超限順序数という．
われわれが欲しいのは自然数である．大きすぎる集合は必要ない．上の操作で得ら
れる集合で，濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の
集合と定義しよう．すなわち
∀x(0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x ⇒ y ∪ {y} ∈ x) ⇒ N ⊆ x)
を満たす集合 N を自然数の集合とする．
(引用終り)
以上
762: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/05(木) 07:33:59.52 ID:lG01yKE6(2/3) AAS
>>761 タイポ訂正
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ
↓
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義したそうだ
分かると思うが（＾＾；
763: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/05(木) 07:37:40.45 ID:lG01yKE6(3/3) AAS
>>761
＞蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
蛇足の蛇足
・”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になるけれども、出来上がった理論を、出来上がった後に、より高い立場から俯瞰することは、大事だよ
・それは、IUTでも同じだ。IUTを作るのに、厳密なロジックが必要だから、循環論法は許されない。けど、出来上がった理論を俯瞰的に見れば、もっと易しい道があるということが見えてくると思う
・それを期待しています（＾＾；
765(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/05(木) 11:05:43.40 ID:8UOSK5Ns(2/2) AAS
>>761
補足
>上の操作を続けていくと，自然数の集合 N を得る．
>N = {0, 1, 2, ・ ・ ・ }
>これでわれわれが求めるものを得た
本当は、ここには無限公理が適用されて、無限集合の存在が言えるのだが
そこはスルーして、自然数の集合 Nができたとすると
これを、あとから振り返ると
無限数列 0, 1, 2, ・ ・ ・n,・ ・ ・の存在を認めたってことだ
で、それを時枝で言えば 2chｽﾚ:math
”可算無限個”の箱が用意できるって話につながる
じゃ、箱でも括弧 } でも同じように、可算無限個用意できるよね }・・}}・・・ ってね
で、上記列を鏡（カガミ）に写した鏡像を作れば、逆の括弧の列も、同様に ・・・{{・・{ ってできるよ
そして、真ん中に0を入れて、
・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ ってできるよね
それだけのことでしょ？
・・・{{・・{ 0 }・・}}・・・ は、シングルトンであって、括弧{} が可算無限重に重なっている集合で
これがZermeloのシングルトン構成によるωでしょ
自然数の無限数列 0, 1, 2, ・ ・ ・n,・ ・ ・の存在を認めたら、ここまでは必然で、簡単な話でしょ
この程度のことが理解できないようじゃ
IUTはムリ
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