IUTを読むための用語集資料集スレ

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754(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/04(水) 21:38:29.56 ID:dk/KhN0S(7/8) AAS
>>751 補足

１．von Neumannの自然数構成法を、出来上がった後で、眺めてみると
　結局、自然数の集合Nとは、数列Sn：＝0,1,2,・・・,n (0からnまでの自然数を順に並べた数列)
　としたもの Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
　で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる）
　さらに、Neumannの自然数構成法では、自然数の集合Nが即ち順序数でのωになる（N＝ωだ）
２．で、同じことをZermeloのシングルトンによるωの構成で考えると、同様に極限を考えることができて
　0 := {}, suc(a) := {a} と定義して（>>731より）
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になるが
　ここで、Singl_n：＝{・・・{0}・・・}　（つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として
　ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い
　これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた
　また、Zermeloのシングルトンによる自然数の集合Nは、上記１と同様だ（ lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N ）
３．つまり、基礎論的には Neumannの方法がスマートだが、手間を厭わなければ、Zermelo法でも数学的には同じように自然数の集合Nと順序数ωとが構成できる
　（なお、後者関数の選び方は、無数に可能だが、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」（下記”ペアノの公理”ご参照））
QED （＾＾；

つづく

755: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/04(水) 21:39:15.43 ID:dk/KhN0S(8/8) AAS
>>754
つづき

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。
0:=Φ ={}.
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a):=a∪{a}.
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。
このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。
このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。
また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n ≦ m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。

脚注
[3]^ (von Neumann 1923)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理

存在と一意性
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1] 。
これは可能なペアノシステムの構成法として唯一のものではない。
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）
二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。
(引用終り)
以上

756(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/04(水) 22:11:12.17 ID:26WHSv4q(12/16) AAS
>>754
>N‗n：＝{S‗n}＝{0,1,2,・・・,n}

間違ってます

N‗0:={}
N‗n:={N‗0,…,N‗n-1}

N_ω:=｛N_0,…}

>Singl_n：＝{・・・{0}・・・}　
>（つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として
>ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い
>これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた

できません　あなたの「極限」では集合になりませんから

その証拠に、あなたにはωの要素が書けません

書けないのは当然　集合ではないからです

正しいZermeloのωは、実は
{{},{{}},{{{}}},{{{{}}}},…}
という無限集合

761(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/05(木) 07:32:30.18 ID:lG01yKE6(1/3) AAS
>>754
蛇足だが、さらに補足しておくと、基礎論的には、自然数Nを作るのに”lim n→∞”とか、”レーヴェンハイム＝スコーレムの定理”とかは、循環論法になる
∵ 最初は、空集合と公理しか使えないのだから

だから、ノイマンがやったことは、過剰に無限集合ができるが、下記のように
出来た無限集合の「濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の集合」と定義そうだ
（原論文に当たったわけではないが、他にもそう書かれているのを見たので、多分確かだろう）

（参考）
http://penguinitis.g1.xrea.com/
PENGUINITIS Yuu Kasuga
ノート数について (PDF)
http://penguinitis.g1.xrea.com/study/note/number.pdf
数について
春日悠
2020 年 2 月 1 日
(抜粋)
P16
3.3 自然数
　略
上の操作を続けていくと，自然数の集合 N を得る．
N = {0, 1, 2, ・・・ }
これでわれわれが求めるものを得た…とここで安心するわけにはいかない．自然数
の集合 N が確定した瞬間，自然数の次の数が得られる．N に ω という名前をつける
と，その次の数は ω + 1 = N ∪ {N} であり，さらに続く．
　略
このようにずっと続いていく．上の操作で得られる集合を超限順序数という．
われわれが欲しいのは自然数である．大きすぎる集合は必要ない．上の操作で得ら
れる集合で，濃度が最小である集合 (上の操作で得られる集合の共通部分) を自然数の
集合と定義しよう．すなわち
∀x(0 ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x ⇒ y ∪ {y} ∈ x) ⇒ N ⊆ x)
を満たす集合 N を自然数の集合とする．
(引用終り)
以上

898: １３２人目の素数さん [] 2020/11/26(木) 21:55:06.66 ID:bsElfVLa(6/7) AAS
>>754
>Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
>　で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる）
まず集合列の極限の定義を示して下さい。
次にその定義に従ってNがNnの極限であることを示して下さい。
それらが示されない限りあなたの主張はナンセンスです。

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