[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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731(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/03(火) 20:02:29.95 ID:aFRh2zmP(1) AAS
(>>706より)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
（上記のノイマン構成法で略す）
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。
（注：これがシングルトンによる自然数構成）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%9B%86%E5%90%88
単集合（たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（unit set[1]）は、唯一の元からなる集合である。
例えば、{0} という集合は単集合である。
単集合であることと、その集合の濃度が 1 であることは同値である。
(引用終り)
＜数学的に厳密ではないが、直観的理解として＞
・上記で、人が衣を着ているようなものと思いなよ。カッコ{}が着物だと思いな。例えば、”1 := {0} = {{}}”なら、２重の着物で、0から数えれば一重だ。
・で、ωってのは、（可算）”無限”に着物を重ね着しているようなものだ。もし、時枝のように無限個の箱が用意できるなら、無限の着物もある。その無限 重ね着が、シングルトンωだ
・そして、ωはいかなる自然数の後者でもない（下記）。従って、ωの直前の前者の自然数もない。但し、それはシングルトンに限らない。それは、ノイマンの後者関数でも同様だよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、英: limit ordinal）は 0 でも後続順序数でもない順序数を言う。
任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である。
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω は、それよりも小さい任意の順序数（つまり自然数）n が常にそれよりも大きい別の自然数（なかんずく n + 1）を持つから、極限順序数である。
(引用終り)
以上
732(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/11/03(火) 20:20:31.73 ID:F9WRUhYe(1/2) AAS
>>731
>シングルトンω
>そして、ωはいかなる自然数の後者でもない。
>従って、ωの直前の前者の自然数もない。
一行目と二行目三行目が矛盾
もしωがシングルトンなら、その要素はω−1
つまりω＝｛ω−１｝
一方、ωの前者ω−１が存在しないという
それならωはシングルトンになり得ない
Mara Papiyasならこういうだろうなぁ、きっと
「ハイ、論破！」
734(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/04(水) 06:34:09.81 ID:dk/KhN0S(1/8) AAS
>>731 補足
シングルトン（＝単集合）による極限順序数ωなり、時枝なり、この程度の数学が理解できないならば、IUTを論じる資格無いよ
要するに、抽象的な現代数学の結構基本的なところが、理解できない あるいは 自分で調べたりで自力解決できないってこと
それじゃ、ショルツェ氏の尻馬に乗って騒ぐくらいが、関の山でしょ
754(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/04(水) 21:38:29.56 ID:dk/KhN0S(7/8) AAS
>>751 補足
１．von Neumannの自然数構成法を、出来上がった後で、眺めてみると
結局、自然数の集合Nとは、数列Sn：＝0,1,2,・・・,n (0からnまでの自然数を順に並べた数列)
としたもの Nn：＝{Sn}＝{0,1,2,・・・,n} (nは有限)
で、n→∞ を考えて、lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N （つまり、これが全ての自然数を含む自然数の集合Nになる）
さらに、Neumannの自然数構成法では、自然数の集合Nが即ち順序数でのωになる（N＝ωだ）
２．で、同じことをZermeloのシングルトンによるωの構成で考えると、同様に極限を考えることができて
0 := {}, suc(a) := {a} と定義して（>>731より）
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になるが
ここで、Singl_n：＝{・・・{0}・・・} （つまり{0}で、カッコ{}がｎ重のシングルトン）として
ω：＝lim n→∞ Singl_n と定義すれば良い
これで、{0}のカッコ{}が∞重のシングルトンが定義できた
また、Zermeloのシングルトンによる自然数の集合Nは、上記１と同様だ（ lim n→∞ Nn＝{0,1,2,・・・,n,・・・}＝N ）
３．つまり、基礎論的には Neumannの方法がスマートだが、手間を厭わなければ、Zermelo法でも 数学的には同じように自然数の集合Nと順序数ωとが構成できる
（なお、後者関数の選び方は、無数に可能だが、「二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる」（下記”ペアノの公理”ご参照））
QED （＾＾；
つづく
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