IUTを読むための用語集資料集スレ

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67(4): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/01(水) 07:34:57.77 ID:ccoy8kKe(1/4) AAS
星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
(抜粋)
P177
§ 27. まとめ
最後に, 本稿で行われた議論を, 後半で説明した “Hodge 劇場の構成” の観点からまとめて, 本稿を終えましょう:
・ある Diophantus 幾何学的定理 (§4 の冒頭で述べた主張を参照) を証明するためには,
(a) 対数殻
(b) 楕円曲線の q パラメータの (1 より大きい) ある有理数による巾
(c) 数体
という 3 つの対象の (ある適切な設定における) 多輻的な表示の存在を証明すれば充分である.
(§4 から §8 の議論や §12 の議論の一部を参照.)
・ (b) と (c) の多輻的な表示を得るためには, 正則構造から単解構造への移行によって生じる不定性から,
(b) と (c) を防護/隔離しなければならない.
そのために, (b) と (c)を, “ただの数” としてではなく “ある適切な関数の特殊値” として扱う.
そのような関数として, (b) に対してテータ関数, (c) に対して “ｋ系関数” が用いられる.
(§11 の議論を参照.)
・テータ関数に代入するべき点たちの内, 我々の議論において重要となるものは,
LabCusp±K〜= Fl という集合の元たちで自然にラベル付けされる. j ∈ Fl に対して, j でラ
ベル付けされた点でのテータ関数の値は　− Fl = {−l＊, . . . , 0, . . . , l＊} という自然な
同一視のもと　− “μ2l・ qj2/2l” の元となる. (§13 や §18 や §19 の議論を参照.)
・上述の各 j ∈ Fl での特殊値に関する考察から, F×l = Fl \ {0} でラベル付けされ
た点での特殊値によって (b) が得られ, そして, 0 ∈ Fl でラベル付けされた点での代入に
よってある単数的加群 “O×μv” が得られることがわかる. この単数的加群は, 後に, 対数写
像 “O×μv〜→ (Fv)+” を通じて, (b) (や (c)) に対する適切な “入れ物” としての (a) となる.
(§19 や §20 の議論や §8 や §9 の議論の一部を参照.)
・考察しなければならない様々な局所的な状況におけるテータ関数の特殊値や代入
点を大域的に管理するために, 局所的な設定と大域的な設定とを関連付けなければならない.
(§19 の議論を参照.)

つづく

68(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/01(水) 07:36:09.51 ID:ccoy8kKe(2/4) AAS
>>67
つづき

・また, 上述のように, F×l = Fl \ {0} の元での特殊値として得られる (b) を, 0 ∈ Fl
での代入によって得られる適切な “入れ物” に収納したい　−　つまり, F×l の元と {0}
の元を関連付けたい. そのために, AutK(XK) から生じる Fｘ±l → LabCusp±K という加
法的/幾何学的な対称性をもとに, 局所的な設定と大域的な設定との関連付けを行う. これ
らの結果として構成される概念が, D-Θ±ell Hodge 劇場や Θ±ell Hodge 劇場である.
(§20の議論を参照.)
・上述の説明から, 非常に大雑把なレベルでは, D-Θ±ell Hodge 劇場や Θ±ell Hodge
劇場は,テータ関数, その代入点のラベルの管理, 及び, その特殊値 (つまり, (b)) のため
の “入れ物” (つまり, 最終的には (a) となるもの)のための設定だと考えられる.
・ (c) の多輻的な表示は, Θ±ell Hodge 劇場による Fｘ±l 対称性を用いたラベルの管
理を破壊してしまわないようなラベルの管理のもとで実現しなければならない. そして,
Θ±ell Hodge 劇場の大域的な部分に現れる数体 (つまり, これまでの議論の “K”) が, 多
輻的に表示されるべき (c) (つまり, これまでの議論の “Fmod”) よりも大きくなってしま
うため, そのラベルの管理は, 数体のこの拡大の降下情報に関連するものでなければなら
ない. また, (c) は最終的に “値群的” かつ “輻的” な対象となるため, そのラベルの管理
は, “単数的” かつ “コア的” なラベルである “0 ∈ Fl” を隔離する形で与えられなければ
ならない. (§21 の議論を参照.)
・テータ関数の非単数的特殊値は, LabCuspK〜= F＊l という集合の元たちで自然にラ
ベル付けされる. また, このラベルの集合に関する対称性 F＊l → LabCuspK は, 数体の降
下情報に関連する. この乗法的/数論的な F＊l 対称性をもとにした, 数体やその上の数論的
直線束たちと, テータ関数の代入点との間の適切なエタール的関連付けが, D-ΘNF Hodge
劇場という概念で実現される. (§18 や §21 の議論を参照.)

つづく

71(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/01(水) 17:58:24.08 ID:k+r32g6d(1/3) AAS
>>67 追加

星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
(抜粋)
P81
本稿の構成は, おおまかには以下のようになっています:
? §1 から §3: 宇宙際 Teichm¨uller 理論において遠アーベル幾何学がどのような形で
用いられるか, という点についての説明.
? §4 から §12: ある Diophantus 幾何学的帰結 (§4 の冒頭を参照) を得るために, “何
をすれば良いか”, “どのようなアプローチがあり得るか”, “そのアプローチの枠組みで何
ができるか” という点についての考察. 特に, 宇宙際 Teichm¨uller 理論の主定理の大雑把
な形の説明.
? §13 から §20: テータ関数に関わる局所理論やその大域化の説明, 特に, 加法的/幾
何学的な対称性が重要な役割を果たす “加法的 Hodge 劇場” の構成の説明.
? §21 から §25: 数体の復元に関わる理論の説明, 特に, 乗法的/数論的な対称性が重
要な役割を果たす “乗法的 Hodge 劇場” の構成の説明.
? §26: 最終的な Hodge 劇場の構成の説明.
もう少しだけ理論の詳細に踏み込みましょう. (より詳しくは §27 を参照ください.)
§4 から §12 までで説明される “リンクによるアプローチ” によって, ある Diophantus 幾
何学的定理 (§4 の冒頭を参照) を証明するためには, ある適切な固定された数体上の楕円
曲線に対して,
(a) 対数殻 (§8 を参照)
(b) 楕円曲線の q パラメータの (1 より大きい) ある有理数による巾
(c) 数体
という 3 つの対象の (ある適切な設定における) 多輻的な表示 (§7 を参照) の存在を証明
すれば充分であるということになります. 一方, これらの対象の多輻的な表示を得るため
には, “設定の環構造を放棄する” ことによって必然的に発生してしまう不定性 (§10 を参
照) から, 上記の (b) と (c) を防護/隔離しなければなりません. そのために, (b) と (c)
を, “ただの数” としてではなく “ある適切な関数の特殊値” として扱う必要が生じます.
そのような関数として, (b) に対してテータ関数 (§13 を参照), (c) に対して “κ 系関数”
(§24 を参照) が用いられることになります. (§11 の議論を参照.)

つづく

74(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/02(木) 07:16:21.35 ID:7yuS9dUI(1/3) AAS
>>67

”両立的”：両立的とは、IUTのリンクで結びつけられた 2つの量が、等式または不等式として、左辺と右辺の両方における
というような意味みたいですね（＾＾；

星裕一の論文
宇宙際 Teichmuller 理論入門 PDF (2019) （Indexあり）https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/244783
(抜粋)
P94
では, どのようにすれば実際の値に対する等式 “deg L = deg L◯xN ” が得られるので
しょうか. ここで再び,deg L (または deg L◯xN ) という値は, qE (または qNE ) なる “生成元” によって定
義された数論的直線束 L (または L◯xN ) の次数である
という事実を思い出しましょう. つまり, 安直リンクの条件に登場する †qNE や ‡qE から
所望の等式に登場する deg L◯xN や deg L を得るためには, “それら生成元から定まる数論
的直線束の次数の計算” を行う必要があります. したがって,
安直リンク (つまり,†qNE → ‡qE なる適当な結び付き)
†S → ‡S であって, “そ
れら生成元から定まる数論的直線束の次数の計算の仕組み” を保つもの
が存在すれば, 所望の等式 “deg L = deg L◯xN ” が得られるはずだということです. そし
て, 実際にそれが (ある意味で) 実現可能であるという主張が, 非常に大雑把には, 宇宙際
Teichm¨uller 理論の主定理となります:
宇宙際 Teichm¨uller 理論の主定理の雰囲気: (“充分一般的な E/F” に対して)
†qNE → ‡
qE なる適当なリンク †S → ‡S が存在して, それは,
†qNE → ‡qE
の両辺を生成元とする数論的直線束の次数の計算の仕組みと (軽微な不定性を除いて)
両立的となる.

つづく

79: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/03(金) 11:29:35.85 ID:bxcPs0DD(2/2) AAS
>>67

(引用開始)
・テータ関数に代入するべき点たちの内, 我々の議論において重要となるものは,
LabCusp±K〜= Fl という集合の元たちで自然にラベル付けされる. j ∈ Fl に対して, j でラ
ベル付けされた点でのテータ関数の値は　− Fl = {−l＊, . . . , 0, . . . , l＊} という自然な
同一視のもと　− “μ2l・ qj2/2l” の元となる. (§13 や §18 や §19 の議論を参照.)
(引用終り)

ここに
“μ2l・ qj2/2l”
正確には冪で
“μ_2l・ q^(j^2/2l)”
なのですが
q^(j^2/2l)が出てきます

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