[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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632(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/29(木) 21:19:58.88 ID:bN6CRDXK(2/3) AAS
ほいよ
https://mathematics-pdf.com/column/taniyama_shimura.html
谷山・志村予想について よしいず MATHEMATICS.PDF
(抜粋)
谷山・志村予想とは
「有理数体上の楕円曲線（注１）はモジュラー関数（modular function）で一意化（uniformization）される」という命題が，谷山・志村予想と呼ばれているものです．このような形で明確に定式化したのは志村五郎です（[11], p. 245）．
円の方程式 x2+y2=1 は x=cos t, y=sin t とパラメータ表示され，tを実数の範囲で動かすと円上のすべての点が得られますが，このことを円が三角関数で一意化されるといいます．楕円曲線とモジュラー関数についても同様のことが成り立つというのが上の命題の意味です．
古典的な結果としてすでに，楕円曲線がワイエルシュトラスのペー関数と呼ばれる楕円関数によって一意化されることが知られています．谷山・志村予想によれば，楕円関数の代わりにモジュラー関数が利用できるというわけです．モジュラー関数のような「良い性質」を持つ関数で一意化できると，楕円関数ではできなかったいろいろなことが証明できます．
予想に谷山の名前が付いているのは，1955年に日光で行われた代数的整数論の国際シンポジウムにおいて谷山豊が楕円曲線と保型形式（automorphic form）との関連について問題の形で言明したことによります．ただし，谷山自身はモジュラー関数だけでは不十分だろうと思っていたようです（[5], pp. 188-189, [11], pp. 248-251）．
数学者サージ・ラングが，この予想に関するヴェイユの発言を徹底的に調べ上げ，その調査結果を「ラング・ファイル」あるいは「谷山・志村ファイル」と呼ばれる文書にまとめたという話は有名です（[5]，pp. 188-191, [8], pp. 137-157）．彼は，ヴェイユが当初予想が成り立つことを信じてはおらず，この予想の成立にはなんの貢献もしていなかったと断定しました．
モジュラー関数や保型形式の定義については，岩波数学辞典第4版を参照してください．ここでは，モジュラー関数，モジュラー形式はそれぞれ保型関数，保型形式の特別なものであるということだけ注意しておきます．
(引用終り)
以上
634(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/10/30(金) 05:21:46.84 ID:iuPqYV+w(1/5) AAS
>>632
>ほいよ
きみ、ペー関数で検索した？してないだろ
ヴァイエルシュトラスの楕円函数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%A5%95%E5%86%86%E5%87%BD%E6%95%B0
ヴァイエルシュトラスの楕円函数は、
近しい関係にある三種類の方法で定義することができて、
それぞれ一長一短がある。
一つは、複素変数 z と複素数平面上の格子 Λ の函数として、
いま一つは z と格子の二つの生成元（周期対）を与える複素数 ω1, ω2 を用いて述べるもの、
残る一つは z と上半平面における母数 (modulus) τ に関するものである。
最後のはその前のと、上半平面上の周期対を選んで
τ = ω2/ω1 とした関係にある。
この方法では、z を止めて、τ の函数と見ると、
ヴァイエルシュトラス楕円函数は τ のモジュラー函数になる。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
つまり楕円曲線と対応づけられるのはτ
ついでにいうと、モジュラー群で写りあうτ同士は同じ曲線を表す
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