[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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60(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/28(日) 23:13:32.07 ID:bfBvt+85(6/6) AAS
メモ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E8%A8%88%E9%87%8F
ポワンカレ計量
二次元の負曲率一定曲面を記述する計量テンソルである。この計量は、双曲幾何やリーマン面において様々な計算を展開する際に広く用いられる。
二次元の双曲幾何の表現には、互いに同値な三種類がよく用いられる。
ひとつは上半平面上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ上半平面模型、
もうひとつは単位円板上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ円板模型であり、
このふたつは等角写像（共形写像）およびメビウス変換によって与えられる等距写像によって関連付けられる。
いまひとつの表現は穴あき円板上のもので、その関係性はq-類似によっても表される。以下これらについて述べる。
目次
1 リーマン面上の計量についての概観
2 ポアンカレ平面上の計量と体積要素
3 平面から円板への等角写像
4 ポアンカレ円板上の計量と体積要素
5 穴あき円板模型
6 シュヴァルツの補題
穴あき円板模型
上半平面から円板への写像でもう一つ広く用いられるものが、q-写像
q=exp(iπτ)
である。ここに q はノームで τ は半周期比を表す。
前節での記法を用いれば、τ は上半平面 Im?τ における座標である。
q = 0 はこの写像の像に含まれないから、この写像は穴あき円板に値を取るものになっていることに注意。
61(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/29(月) 07:17:58.73 ID:zK2xtwvj(1/3) AAS
>>60
追加
これは知っておいた方がいいかも
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%AF%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E8%A8%88%E9%87%8F
ポワンカレ計量
(抜粋)
3 平面から円板への等角写像
ポアンカレ上半平面はポアンカレ円板上にメビウス変換
w=e^{iΦ} {z-z_0}/{z-z￣_0}
によって等角的に写すことができる。ここで w は、上半平面上の点 z に対応する単位円板上の点である。
この写像において、定数 z0 は上半平面上の任意の点とすることができる（この点が単位円板の中心に写る）。
実軸 Im?z =0 は単位円板の周 |w| = 1 に写る。また、実定数 φ は任意に決まった量だけ円板を回転させるために用いられる。
虚数単位 i を円板の中心に、0 を円板の最下点に写す標準写像（標準座標系）は
w= {iz+1}/{z+i}
で与えられる。
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