IUTを読むための用語集資料集スレ

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531(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/09/10(木) 22:46:47.47 ID:5cvoq+AD(2/5) AAS
>>530 追加

下記川平友規”12 ベアス埋め込み”
”タ空間が複素 3g - 3 次元空間の有界領域内に埋め込めること（ベアス埋め込み）”
ここ、>>530の藤原耕二では、Rで6g - 6次元ユークリッド空間として書かれています
（参考）
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf
複素解析特論I（つづき）
タイヒミュラー空間と複素力学系への応用
川平友規
平成 24 年 9 月 21 日

9.5 タイヒミュラー空間の定義
いよいよ，「リーマン面 S のタイヒミュラー空間」を定義する．とりあえず，形式的に定義を済ま
せてしまおう．
S とそのアトラス A を固定する．つぎに，別のリーマン面 R で，S からの向きを保つ擬等角写像
f : S → R が存在するようなもの全体を考える．もう少し形式的に，そのような f と R のペアとし
て (R, f) の形のもの全体を考えるのである．この写像 f をマーキング (marking) と呼び，(R, f) を
マークされたリーマン面 (marked Riemann surface) と呼ぶ．
その全体の集合に，次の同値関係を考えよう：
定義（タイヒミュラー同値）． (R1, f1)^T
(R2, f2):←⇒ f2 ◯ f-11: R1 → R2 とホモトピックな等角同相写像 h : R1 → R2 が存在する．
このとき，同値類の集合
T(S) = {(R, f)}/^T
を S のタイヒミュラー空間 (Teichm¨uller space) と呼ぶ．
このように定義を与えられても，大概の人にとっては意味不明であろう．

たとえば，次のような疑問点が生じる：
・なぜ擬等角写像の同値類なのか？同相写像や C∞ じゃだめなのか？
・なぜホモトピーによる同値類を考えるのか？
・そもそも，等角同相写像が存在するということが，なぜ分類の基準とされるのか？
・現時点では，T(S) はただの「商集合」である．これがいかにして「空間」となるのか？すなわち位相は？
これらの疑問に，納得できる答を（われわれなりに）与えていこう．

つづく

532(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/09/10(木) 22:47:13.11 ID:5cvoq+AD(3/5) AAS
>>531

つづき

10 タイヒミュラー空間とモジュライ空間
今回の目標は次の 2 点である：
・モジュライ空間を定義し，タイヒミュラー空間との関係を明らかにすること．
・これらの空間の具体例として，トーラスのタ空間とモ空間について概説すること．
タイヒミュラー空間論の源流は「リーマンのモジュライの問題」にあるらしい．

よくわからない定義に出くわしたとき，
・無批判的に記憶して，その先はすべて論理で処理する人
・その意味を自分なりに咀嚼し終わるまで，立ち止まって考えつづける人
のふたつのタイプの人がいる．ただしこれらは極端な例であって，ほとんどの人は両者の中間であ
る．

10.2 モジュラー群，あるいは写像類群
では同一のリーマン面にかんするタ空間の元 [R, f1] と [R, f2] において，マーキングの違いは何
を意味するのであろうか？それは「服の着方の違い」ではあろうが，もうすこし数学的に記述してみ
よう．

10.3 アトラスの分類とタイヒミュラー空間

10.4 トーラスのタイヒミュラー空間
タ空間の具体例として，トーラスのそれが上半平面
H := {x + yi ∈ C : y > 0}
と同一視できることについて概説しよう．15

トーラスのモジュライ空間．トーラスの場合，例外的にモジュライ空間を記述するほうが格段にやさしい：

つづく

534: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/09/10(木) 22:52:32.99 ID:5cvoq+AD(5/5) AAS
>>531 補足

http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses.html
川平友規
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/11S-tokuron.html
複素解析特論 I （2011年度前期・火３・理1-453，川平友規）

シラバスおよび講義ノートはこちらです：
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/11S-tokuron.pdf
(第１〜６回） /
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/11S-tokuron2.pdf
(第７回〜第１３回）

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