[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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47(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/27(土) 18:35:51.11 ID:jEjJjPRO(3/10) AAS
https://bluexlab.tokyo/1267
bluexlab
2019.10.03 2019.10.04MATH
パーフェクトイド空間（Perfectoid Spaces）とは？理論の概要と参考文献をご紹介【数論幾何の天才Peter Scholze氏の理論】
(抜粋)
「パーフェクトイド空間って一体何？」、「最近、数論幾何の分野でよく聞くパーフェクトイド空間って？」
こんな疑問に大学院でパーフェクトイド空間（Perfectoid Spaces）を研究していた僕がお答えします。
※このブログの他の数学関連の記事と同じように、この記事でも数学的な正確さよりも”なんとなくの雰囲気”重視で書いているため、数学的に不正確な表現や定義があることはご了承ください。
パーフェクトイド空間（Perfectoid spaces）への準備
コホモロジーを使うことで、昔から考えられている数学の問題を”コホモロジーの言葉に変換”して考え直すことができたり、代数幾何だけでなく整数論など他の数学の分野にも応用することができます。
現代の数学（特に、整数論や代数幾何、数論幾何）はこのコホモロジーの研究といっても過言ではないくらいに大切な概念になります。
パーフェクトイド空間（Perfectoid spaces）とは？
これでようやくパーフェクトイド空間の話に戻ってこれます。
代数幾何では多項式で定義された図形をコホモロジーを駆使して研究する分野でした。
パーフェクトイド空間
では、パーフェクトイド空間とは何かと言うと、次のようなp冪の多項式で定義される図形のことを指します。
1/x+p+p2x+……
1/xp+1+px+……
1/xp2+1/xp+……
パーフェクトイド空間では、素数pでたくさん割れる多項式ばかりを考えることになります。
そうすることでいったい何が良いのかと言うと、
パーフェクトイド空間を考えると（使うと）コホモロジーが調べやすくなる
という点が挙げられます。
つづく
48: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/27(土) 18:36:16.82 ID:jEjJjPRO(4/10) AAS
>>47
つづき
パーフェクトイド空間を使うと、コホモロジーが調べやすくなると言いましたが、これはどういう事か簡単に説明します。
冒頭で体の標数の話を出しましたが、代数幾何や数論幾何で図形を考えるとき（＝多項式を考えるとき）、その多項式の係数がどの標数の体のものかというのが重要になってきます。
つまり、標数0の体係数の多項式を考えているのか？ それとも標数pの体係数の多項式を考えているのか？ ということが大事になるということです。
ところがこれがパーフェクトイド空間の場合では標数0だろうと標数pだろうと関係ない（と言うと乱暴ですが、、、）という性質が発見されています。
もう少し言うと、パーフェクトイド空間の世界では標数0の体と標数pの体を同じものとして扱うことができると言うことがScholzeによって証明されています（これはTilting対応と呼ばれています）。
このTilting対応を使うことで今までよりもずっと簡単に、広くコホモロジーを調べることが可能になりました。
パーフェクトイド空間を使うと、コホモロジーが調べやすくなると言いましたが、これはどういう事か簡単に説明します。
冒頭で体の標数の話を出しましたが、代数幾何や数論幾何で図形を考えるとき（＝多項式を考えるとき）、その多項式の係数がどの標数の体のものかというのが重要になってきます。
つまり、標数0の体係数の多項式を考えているのか？ それとも標数pの体係数の多項式を考えているのか？ ということが大事になるということです。
ところがこれがパーフェクトイド空間の場合では標数0だろうと標数pだろうと関係ない（と言うと乱暴ですが、、、）という性質が発見されています。
もう少し言うと、パーフェクトイド空間の世界では標数0の体と標数pの体を同じものとして扱うことができると言うことがScholzeによって証明されています（これはTilting対応と呼ばれています）。
このTilting対応を使うことで今までよりもずっと簡単に、広くコホモロジーを調べることが可能になりました。
パーフェクトイド空間の勉強をしたい方への参考文献
(引用終り)
以上
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