[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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440(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/10(月) 15:07:13.42 ID:gEQArxFG(4/8) AAS
純粋・応用数学（含むガロア理論）3
2chｽﾚ:math
より、再掲
追加（下記では"正則"という語は出てこない）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
(抜粋)
行列群はある体 K、通常は前もって固定される、上の可逆行列からなる群 G で、行列の積と逆の演算をもつ。より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる
線型群は体 K 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、K 上の忠実な有限次元表現をadmitする
任意の有限群は線型である、なぜならばそれはケイリーの定理（英語版）を使って置換行列によって実現できるからだ。無限群（英語版）の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む。例えば、無限集合の置換からなる無限対称群
基本的な例
可換環 R 上の n × n 行列全体の集合 MR(n,n) はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。MR(n,n) の単元群は環 R 上の n × n 行列の一般線型群と呼ばれ、GLn(R) あるいは GL(n,R) と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である
古典群
詳細は「古典群（英語版）」を参照
とりわけ面白い行列群はいわゆる古典群（英語版）である。行列群の係数の環が実数のとき、これらの群は古典リー群（英語版）である。基礎環が有限体であるとき古典群はリー型の群（英語版）である。これらの群は有限単純群の分類において重要な役割を果たす
行列群としての有限群
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある置換群と同型であると述べるケイリーの定理（英語版）と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい
表現論と指標理論
線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広範囲に渡って使われてきた。とくに表現論は群から行列群への写像を研究し、指標理論は表現のトレースによって与えられる群から体への準同型を研究する
つづく
441: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/10(月) 15:07:46.82 ID:gEQArxFG(5/8) AAS
>>440
つづき
例
・たくさんの例にはリー群一覧（英語版）、有限単純群一覧（英語版）、単純リー群一覧（英語版）を見よ。
・2000年に braid group Bn がすべての n に対して線型であることが示されたときに長年の予想が解かれた[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_group
Classical group
（補足）
「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
と書いたら間違いか？
「より一般に、可換環 R 上の n × n 正則行列を考えることができる」
と書いたら、より丁寧ではあるけれども
でも、「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
の表現で、十分すぎるくらい分かるよね。
群論の文脈で、逆元の存在は、あたりまえ
誤解するやつがいるかもしれないがね
「自然数Ｎが、群の例？」とかな
でも、読み進めれば、すぐ分かる話で
そういうレベルの人には
「より一般に、可換環 R 上の n × n 正則行列を考えることができる」なんて、”正則行列”？？？？ と
よけい、そこで詰まって、理解が進まないかもよ
「より一般に、可換環 R 上の n × n 行列を考えることができる」
という表現で十分だよね（＾＾
以上
442(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/10(月) 15:11:03.23 ID:gEQArxFG(6/8) AAS
>>440
「行列群」
は間違い
「”正則”行列群」
と言えか ｗｗｗ（＾＾；
445(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/10(月) 15:31:55.47 ID:cfnsaN5B(1) AAS
>>440
> "正則"という語は出てこない
https://ja.wikipedia.org/wiki/正則行列
> 正則行列（略）、非特異行列（略）あるいは可逆行列（略）とは
正則行列のかわりに可逆行列を使っているでしょ
> 行列群はある体 K 上の可逆行列からなる群 G で、
> 行列の積と逆の演算をもつ
言い換えれば
行列群はある体 K 上の正則行列からなる群 G
446(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/10(月) 15:34:36.44 ID:EXUgpgw2(4/6) AAS
>>440
もしかして
「「行列群」という言葉だから「行列全部の群」と誤解した」
といいたいのかな？
そもそも、行列群なんて馬鹿な言い方しないよｗ
一般線形群とか特殊線形群とかいうだろｗ
当然定義を確認するだろｗ
おまえ、なんで文字だけで分かろうとするんだよ このidiotが！
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