[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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386(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 21:51:41.26 ID:wEGnwISi(3/7) AAS
齋藤毅
・楕円曲線
・楕円曲線の有理点
・Fermat の最終定理
・数論幾何におけるGalois表現
（参考）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/0121.pdf
齋藤毅
講義の内容：
１．楕円曲線．
２．保型形式．
３．それらの関係．
１．楕円曲線
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/surijoho2.pdf
齋藤毅
1 楕円曲線の有理点
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce/surijoho.pdf
齋藤毅
Fermat の最終定理
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf
齋藤毅
数論幾何におけるGalois表現
(抜粋)
1.2 Galois 群の ｌ進表現
S = { 素数 } II {∞} = {2, 3, 5, 7,..., ∞} とおく. S を代数曲線のようなものと考
え, 有理数体をその関数体と考えるのが, 標準的なみかたである. 無限素点 ∞ は有理数
体 Q の実数体 R = Q∞ へのうめこみのことである. 各素数 p は, 有理数体 Q の pｌ進体
Qp へのうめこみを定める. これを有限素点とよび, 有限素点と無限素点を完全に対等
なものとして扱おうというのが現代の数論の基本的な姿勢である. このように考えた
とき, S(正確にはその開集合) 上の局所定数層あるいは局所系とよぶべきものが, Q の
絶対 Galois 群 GQ の ｌ進表現である.
つづく
387: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/08(土) 21:52:18.76 ID:wEGnwISi(4/7) AAS
>>386
つづき
Q の絶対 Galois 群 GQ = Gal(Q￣ /Q)とは, Q の代数閉包 Q￣ の自己同型群 Aut(Q￣ ) の
ことである. 素数 に対し, GQ の ｌ進表現とは ｌ進体 Q 上の有限 (n) 次元線型空間 V
への連続表現 GQ → GLQl (V )(=~ GLn(Ql)) のことをいう. 素数は S の点を表わすとき
には文字 p を使い, S 上の局所系の係数体を表わすときは を使う習慣となっている.
ｌ進表現だけでは, 無限素点の扱いかたが不十分なので, さらにこれと対応する Hodge 構
造と対にして考える必要がある [5].
有理数体上定義された代数多様体や, 保型形式などに対し, Galois 群 GQ の ｌ進表現
(と Hodge 構造の対) を対応させることができる.
代数多様体, 保型形式 ⇒ ｌ進表現 (+ Hodge 構造).
このような対応により, 有理数体上の代数幾何的あるいは表現論的対象を, より線型代
数的な対象である ｌ進表現をつかって調べることができる. またその逆に, Galois 表現
という数論的に重要な対象を, 幾何的な方法や表現論的な方法をつかって調べることも
できる. 代数多様体の例として Fermat 曲線をとると, 上のものになる.
実際に Galois 表現を構成する手段は, おもにエタール・コホモロジーである.
1. E を有理数体 Q 上定義された楕円曲線とする.
Tate 加群 TE = lim←? nKer(n :E(Q￣ ) → E(Q￣ )) は,
階数 2 の自由 Z-加群であり, 自然な Galois 群 Gal(Q￣ /Q) の表現を
もつ. E のエタール・コホモロジー H1(EQ￣ , Q) は, 双対空間 Hom(TE, Q) と標準同
型である. E(C) を C の格子 T による商 C/T として表わせば, TE =~ T ◯xZ Zl であり,
H1(EQ￣ , Ql) =~ Hom(T, Ql) である.
有理数体上定義された楕円曲線に対し, 上の例 1 の
ようにしてえられる ｌ進表現が, 例 2 のように保型形式から定まる ｌ進表現であること
を示すことによって, Fermat 予想が解決されたのだった ([8] 参照).
2.4 weight-monodromy 予想
3.1 導手公式.
局所体の ｌ進表現の分岐から生じる不変量のうちで最も基本的なものはその導手と
よばれるものである.
E が楕円曲線のときには, Tate-Ogg の式 [30] と同値である [31].
(引用終り)
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