[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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33(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/24(水) 18:25:47.44 ID:o/pgoU2Q(1/3) AAS
下記の中村博昭先生、いいわ（＾＾
https://core.ac.uk/reader/42025004
(1999年度北大集中講義レクチャーノート)
ガロア・タイヒミュラ一群のLEGO理論
中村博昭(述) Series #65. August 2000
(抜粋)
はしがき
このノートは、1999 年6 月7 日~6 丹11 日に北海道大学で集中講義した内容に若干加筆
しでまとめたものである。この講義の主なねらいは、代数曲線のモジュライ空間の基本群
(タイヒミュラーモジュラー群)たちが、リーマン面の退化を通じて、多重な仕方で積み重
なっている様子を、有理数体の絶対ガロア群の表現の言葉で記述することであった。特に、
代数曲線のモジ、ユライ空間に関係する種々の副有限基本群におけるガロア表現が、その最
も基本的な場合である射影直線マイナス3点の場合をうまく組み合わせることで具体的に
記述できる、ということを説明した。この一環としてタイヒミュラーモジュラー幾何学のような
位相幾何と代数幾何が交錯する世界の一面を、ガ口ア理論を通じて群論的な平易な言葉で描写
することを試みた。
1 Overview:代数曲線のモジュライとガロア表現
(1) Galois-Teichmuller群
(2) Grothendieck's Philosophy
これらが有機的に積み重なって、
Galois-Teichmuller塔
を形成する。Grothendieckは、これの構造を知ること、特に、次元の小さいいくつかの場
合(M0,4, M0,5，M1,1, M1,2) を詳細に研究し、それらをブロック遊び(le jeu de Lego)のよう
に積み上げて、一般のMg,nの場合を記述することを提唱した。
(3)パンツ分解、Grothendieck-Teichmuller群とそれらの精密化
位相幾何的にはm.d.c.は、各3(格別)点付きP1成分をパンツと見立てて貼り合わせるこ
とによりリーマン面上のpants分解と対応する:
目標は、うまく略という対応を構成して、Galois表現の塔
略
を具体的に記述することである。次の対応、がある:
位相幾何 vs 代数幾何
Pants分解 vs cusp of Mg,n
(or max. deg. marked curve)
Quilt Q/P vs tangential base point
結論としては、M0.4， M0,5, M1,1, M1,2だけを使って、すべてのMg,n に対するガロア表現
を記述できる。
つづく
34: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/24(水) 18:26:12.59 ID:o/pgoU2Q(2/3) AAS
>>33
つづき
写像類群Γg，o(の超楕円パート)の間に自然な対応が存在するが、双方の曲面上のキルト分
解を両立的にとっておくと、これに関するガロア表現もきれいに対応する形になる。
もうすこし詳しくいうと、曲面上のcircle cに対して、Dehn twistとよばれる標準的な写像類 Dc∈ Γg，nが定まることがよく知られている:
有限個のDehn twistの間だけで関係式を完全に書き下そうとすると、
結構長いwordがでできてしまい、それのチェックは簡単でない。
ところが、すべて
のDehn twists (無限個)を生成元として4タイプの比較的単純な関係式(commutativity，
braid，doughnut，lantern)で済ませるGervais，Luoらの結果を用いることにより、正の各
Dehn twistへの作用を定めることができる。この作用をきちんと定義する際に有効なのが
Hatcher-Thurston複体とよばれる単連結な2次元複体である。この複体は、標点つきリーマン面上の組合せ構造から、
−頂点＝全てのpants分解
−辺＝コpants分解からpants分解への“move"(2タイプあり;A“move，8-move)
−面＝一回りしてもとに戻る一連のmoves(4タイプあり;3A，3S ，5A，6AS)
として構成される複体である。実際には、これをquilt分解たちに対して“リフト"したも
のを用いる。
2 Etale基本群とBelyiの定理
3 Tangential base point
1. Naiveな理解
2. 精細モード
4 Maximally degenerate stable marked curves
Theorem 4.4 (with Y.lhara)
Example 4.7 (種数2で標点なし)
種数2のリーマン商の基本群の標準的な表示式になる。
5 Tate elliptic curveとM1，2
(引用終り)
以上
35: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/24(水) 18:27:59.35 ID:o/pgoU2Q(3/3) AAS
>>33
なにが良いかというと
望月先生のIUTの和文解説に出てくる絵と類似の絵が沢山出てくることと
IUTで使われている概念の 多分類似概念が多数出てくるので、大変参考になる
ざっと見ておくと、目が慣れるでしょうね（＾＾；
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