[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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190(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/22(水) 15:49:56.91 ID:FY5qB3HE(2/5) AAS
"代数曲線の素数pによる還元"
（参考）
https://ameblo.jp/einstein-1879-314/entry-11156612498.html
私は私の備忘録 2012/02/05
フェルマーの最終定理 ３： フライ曲線の準備
(抜粋)
"代数曲線の素数pによる還元"という言葉を定義する必要があります。
Z上の代数曲線F(x,y)=0の素数pによる還元とは、その曲線をZ/pZ（補足参照）で考える事をいいます。
例として、次のＺ上の楕円曲線（係数がＺ（整数）であるような楕円曲線）
y^2=x(x-1)(x-2)
があったとします。これを素数２で還元するとx-2=x (mod 2)となるので
y^2=x^2(x-1)
となってしまい右辺が重解を持つことが分かります。
この例からも分かるように、元々楕円曲線だったとしても素数pによる還元をとったとき、楕円曲線のままでいられるとは限りません。
しかも、Z上の楕円曲線は
y^2=a(x-b)(x^2+cx+d)
や
y^2=a(x-b)(x-c)(x-d)
等となるので、必ずある素数pの還元で潰れてしまいます。そこでその潰れ度合いを定義する言葉を用意する必要があります。それが素数pによる還元に対する安定性です。
楕円曲線がある還元によって
１ 重解を持たないとき、よい還元
２ 二重解になってしまうとき、乗法的還元
３ 三重解になってしまうとき、加法的還元
と呼び、全ての素数pによる還元で悪くとも乗法的還元となるとき、その楕円曲線は半安定であるといいます。
つまり、全ての素数pによる還元で楕円曲線が潰れる可能性はあるけれど、ぺっちゃんこに潰れないとき半安定であるといいます。
つづく
191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/22(水) 15:50:25.21 ID:FY5qB3HE(3/5) AAS
>>190
つづき
楕円曲線の判別式について：
次に楕円曲線の判別式ですが、これは簡単で方程式f(x)=0の判別式です。f(x)は三次式なのでその判別式Dは三つの解α、β、γを用いて
D={(α -β )(β -γ )(γ -α ) }^2
です。
ここまで準備すれば後は簡単ですが話が長くなってしまったので続きはまた次回に。
Z/pZについて補足：
Zは整数全体の集合を表すこととします。
Z/pZとは整数全体の集合をある整数pで割り算したときの"余りで分類"した世界です。Z/pZの世界では"全ての整数はpで割ったときのあまりの数が同じとき同じ"と見做されます。
例えばZ/3Zならば５は５として見られるのではなく
５÷３＝１あまり２
ということで２だと見做します。このことを
５≡２ (mod 3)
と書き２と５は３を法として合同であるといいます。つまり、この世界では２も５も同じだと考えるということです。
即ち、Z/pZにおいて２つの整数ｎとｍが合同であるとは、nをpで割ったときのあまりとmをpで割ったときのあまりが同じである事とし、
n≡ｍ (mod p)
と表す。
全ての整数は整数pで割り算したとき、そのあまりは、
0,1,2,..,p-1
となりますから、Z/pZの要素はこのp個の数だけということになります。
(引用終り)
以上
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