[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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18(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:14:49.85 ID:W0WIc7wX(12/18) AAS
>>17
つづき
5 Donaldson 理論
ここで，Donaldson 理論についてほんのすこしだけ説明し
ます。簡単のため，X を単連結な実 4 次元可微分多様体，MX
を X に付随したある空間の反自己双対接続 (一般化された微
分，これをインスタントンと呼ぶ) のモジュライ空間としま
す。モジュライ空間というのは，この場合はインスタントン
を全部集めた空間のことです。A ∈ MX をひとつのインスタ
ントン，A + α をその近くのインスタントンとしたとき，α
は微分方程式
DA+(α)+[α, α]+ = 0
を満たします。 こうして，MX は局所的には，複素構造の
変形空間によく似た形の微分方程式で記述されます。AtiyahSinger-Hitchen は，(小平-Spencer-) 倉西による変形空間の
研究の方法を適用して，MX の研究を始めました。その後
Taubes,Uhlenbeck らの結果を用いて，Donaldson は MX の
構造を解明し，多くの重要な結果を導き，さらに Donaldson
多項式と呼ばれる可微分多様体の新しい不変量を発見しまし
た。もしふたつの単連結な実 4 次元可微分多様体 X，X の
Donaldson 多項式が異なれば，X,X は (向き付けを保って)
可微分同相にはなりません。この不変量はホモトピー K3 曲面
をはじめ多くの複素曲面に適用されて，興味深い結果が証明さ
れました。定理 9 のタイプの最初の重要な応用は Donaldson
によりますが，本稿の話題とずれるので，割愛します。
小平先生のご冥福をお祈りしつつ，筆をおきます。
つづく
19(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:15:12.05 ID:W0WIc7wX(13/18) AAS
>>18
つづき
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/susemi0006.pdf
モジュライと変形理論, 数学の楽しみ, no.20, 2000年８月 (PDF FILE)
P17
小平-Spencer の変形理論とは何か？ 3 次曲線の場合に考えてみる。まず 3
次曲線をひとつとる:
前節と同様に微少変形のコホモロジー群を調べればよい。
答えを同次式によって表示すると、(17) と同様に記号の意味をとることで
すべての同次 3 次式/(xi∂H/∂xj )i,j=0,1,2 (20)
となる。これは 1 次元である。(20) を代表するどんな元 h をとっても、
H + sh = 0 (21)
はE の微少変形の可能性を尽くす。小平-Spencer の一般論は、3 次曲線の場
合このようになる。代数多様体がひとつの同次式で定義される場合で、その
変形理論が例外的なのは唯一 4 次曲面で、このときは、4 次式の枠をはみ出
してしまい、(神様でも) 変形を具体的に書くことはできない。これ以外の場
合には、微少変形は(19) (20) と (21) の類似物で与えられる。
7 変形理論
以上説明したことをもう一度別の言葉で整理すると、変形理論とは局所的
なモジュライ理論のことである。したがって良いモジュライ理論があるため
には、つまりよいモジュライ空間が存在するためには、良い変形理論がなけ
ればならない。代数曲線、アーベル多様体、K3 曲面のモジュライ理論が進ん
でいるのも、これらの場合には良い変形理論があるからである。
現代数学の主要な方法論の一つは、大域的なものを局所的なもののつなぎ
合わせとして理解するということである。その意味でモジュライ理論を理解
するためには変形理論が基礎となる。
モジュライ理論が一番都合よく進められる場合は、モジュライ空間が特異
点を持たない場合である。この場合はモジュライ空間は局所的に一次近似に
よって理解できる。このとき、その局所的な一次近似は、微少変形を記述す
るコホモロジー群であると考えてよい。
つづく
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