[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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15(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:13:39.87 ID:W0WIc7wX(9/18) AAS
>>14
つづき
なかなか、良い本です。でも、今の数学科２年生ではきついかもね
さて、”「F1体上の微分」を「F1体上の小平・スペンサー写像」として構成する”は、下記の北大 中村 郁先生、ご参照
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/indexJ.html
中村 郁のホームページです．北海道大学
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~nakamura/susemi9711.pdf
小平の変形理論と最近の発展, 数学セミナー, 1997年12月(PDF FILE)
（小平の変形理論とその後の発展）北海道大学 中村 郁
1 はじめに
この稿では，小平先生の変形理論とその (潜在的なものも含
めた) 影響について，紹介したいと思います。与えられた対
象を出発点 (または初期値) とする新しい対象 (これを変形と
いう)，できればもっとも普遍的な対象を構成し，具体的には
構成できない場合でも，良い変形の存在の証明を目指す，こ
れが変形理論です。小平-Spencer 以前にも Teichm¨uller 理論，
楕円曲線やアーベル多様体の理論はありましたが，変形とい
う概念が数学的に定式化され，強力な数学的手段となったの
は，小平-Spencer の複素構造の変形理論が最初です。この小
平-Spencer の変形理論の確立には，岡，カルタンに始まる連
接層とコホモロジーの理論が必要でした。
その後，小平-Spencer の変形理論は，少なくとも，その考
え方の原理的な点において，代数幾何学の枠組みを越えて，数
学のいろいろな分野で，引き継がれ生き続けています。
E(t) は 1 次元下がって，複素 1 次元したがって，実
2 次元です。E(t) は，t3 = 1 のとき，ドーナツの表面の形を
しています。これを，位相構造が不変と言います。t3 = 1 の
ときは，E(t) が 3 個の（位置を変えた）P1 となるので, 除外
しておきます。
ところで，小平-Spencer は，関数を微分するように，E(t)
の幾何学的な微分ができることを示しました。
つづく
16(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/21(日) 10:14:06.42 ID:W0WIc7wX(10/18) AAS
>>15
つづき
定理 1 (小平-Nirenberg-Spencer1958/p.910) M をコンパク
トな複素多様体とし，H2(ΘM)=0 と仮定する。このとき，
N 個の parameter t1，・・・，tN に依存したコンパクトな複素
多様体の族 {M(t1, ・・・ , tN )} が存在して，どんな M の微少変
形も {M(t1 ・・・tN )} のなかに同型なものがある。ただし，N
は複素ベクトル空間 H1(ΘM ) の次元，M(0, ・・・ , 0) = M。
∂M(t)/∂t は一次の幾何学的微分です。そして，H2(ΘM) =
0 は Taylor 級数で２次以上の項がないという条件に相当し，定
理 1 は，すべての変形 (幾何学的 Taylor 級数) が H1(ΘM )(一
次の微分) で決定されることを主張しています。
その後のあらゆる種類の変形理論を通じて，この形の定理
は，応用上もっとも重要です。
上の定理は，それらのすべての原形を与えている点で，歴史的にも，重要な意味を持って
います。
この理論は最近，Mordell-Weil 格子の理論 (塩田 1989-1997
なお発展中) の中で，より精密な形で再構成されました。ま
た，Mordell-Weil 格子の理論のひとつの応用として，E8 の
Weyl 群という非常に大きなガロア群 (位数 214 ・ 35 ・ 52 ・ 7) を
持つ代数方程式がすべて決定されています。このほか，多く
の素晴しい結果が得られていますが，この理論の基本的なと
ころでは，楕円曲面の理論 (小平 1963/p.1269) が用いられて
います。（楕円曲面については，浪川氏の解説を参照してくだ
さい。)
つづく
26: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/22(月) 23:40:01.68 ID:Ds9PXTTk(1) AAS
>>15
追加
下記、読んでおくと良いと思う
IUTで出てくる話が多く含まれている
（例：”変形理論──藤木 明”）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6760.html
数学セミナー 2015年3月号
特集＝小平邦彦と代数幾何
小平邦彦略伝──宮岡洋一
小平先生の研究業績：
曲面論──今野一宏
変形理論──藤木 明
楕円曲面──小木曽啓示
小平数学のその後の影響や発展：
高次元代数多様体論──藤野 修
変形理論のその後の発展──並河良典
[記事再録◎座談会]
小平邦彦教授と若い数学者たち──小平邦彦＋飯高 茂＋河井壮一＋諏訪立雄
[解説] 座談会の頃の思い出など──飯高 茂
[記事再録◎わが師・わが友・わが数学] プリンストンの思い出──小平邦彦
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