[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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102(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 10:28:21.55 ID:/6i4k5qr(5/12) AAS
>>98 脱線
「４３ フェルマーの最終定理」中のポアンカレ予想の説明がちょっと違うな
誤：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『3 次元空間において、破れた穴の空いていない複雑な形をした立体』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『3 次元の球そのものである』ということである。
↓
正：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『4 次元空間において、”破れて穴の空いて”いない 複雑な形をした立体(3次元)』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『4 次元空間中の3次元の球面である』ということである。
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
ポアンカレ予想
（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、Poincare conjecture）とは、数学の位相幾何学（トポロジー）における定理の一つである。3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は
単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2
三次元球面
三次元（超）球面（さんじげんきゅうめん、英: 3-sphere; 3-球面）あるいはグローム (glome[1]) [注釈 1]は、通常の球面の高次元版である超球面の特別の場合である。四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。
つづく
103: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 10:28:55.97 ID:/6i4k5qr(6/12) AAS
>>102
つづき
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Hypersphere_coord.PNG/250px-Hypersphere_coord.png
立体射影した超球面上の緯線 (赤), 経線 (青), 陪経線 (緑). 立体射影は等角写像であるから, これら直線は四次元空間において直交する (交点 (黄)).
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Hypersphere.png/250px-Hypersphere.png
三次元球面を三次元空間に直交射影したもの。表面を格子で覆うことで、断面として、三次元空間内の二次元球面の構造が見えているはずである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
位相多様体
5 多様体の分類
5.1 離散空間（0次元多様体）
5.2 曲線（1次元多様体）
5.3 曲面（2次元多様体）
5.4 曲空間（3次元多様体）
5.5 一般の n 次元多様体
曲空間（3次元多様体）
詳細は「3次元多様体（英語版）」を参照
3次元多様体の分類はグレゴリー・ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想[要説明]から得られる．
一般の n 次元多様体
「4次元多様体」および「5次元多様体（英語版）」も参照
n が 3 よりも大きいときの n 次元多様体の完全な分類は不可能であることが知られている；少なくとも群論における語の問題（英語版）と同じくらい難しく，それはアルゴリズム的に決定不能（英語版）であることが知られている．実は，与えられた多様体が単連結であるかどうかを決定するアルゴリズムは存在しない．しかしながら，次元 ? 5 の単連結多様体の分類は存在する．
(引用終り)
以上
105(4): １３２人目の素数さん [] 2020/07/12(日) 14:51:44.13 ID:JQJ8LacZ(1/3) AAS
>>102
全然ダメな修正したな
>「3 次元閉多様体」とは『4 次元空間において、”破れて穴の空いて”いない 複雑な形をした立体(3次元)』、
「4次元において」は不要
（そもそも全ての3次元多様体が4次元に埋め込めるわけではない
例えば3次元射影空間は4次元空間に埋め込められない）
「”破れて穴の空いて”いない 複雑な形をした3次元空間」のほうがいい
ついでに「短連結」は「単連結」が正しい
119(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/07/13(月) 15:58:59.38 ID:ys7eXBWa(2/3) AAS
>>115
誤魔化してるのはセタ君、君だよキ・ミ
>>102
>「3次元閉多様体」とは『4 次元空間において、”破れて穴の空いて”いない 複雑な形をした立体(3次元)』
>>105
>「4次元において」は不要
>>111
>「4次元において」は不要というならば、
>おまえの三次元球面の定義を、
>実座標空間 R^4とか、四元数体とか、
>使わずに書いて見ろよｗ
いつから、「3次元閉多様体」が「3次元球面」のみになったんだいｗ
ついでにいうと、君、3次元球面を、埋め込みなしに構成できないの？
いや、そりゃマジで頭わりぃなｗ
２つの3次元空間の貼り付けで、構成できるぞｗ
（実は任意の次元で、同様に構成できる）
貼りつけ写像も構成できないのか？ リーマン球面のときと同じだけどなｗ
ああ、もしかしてリーマン球面を二つの複素平面の貼り付けで構成する方法も知らんのか？
いやぁ、毛深い獣はなんも知らないんだなｗ こんなの複素解析やったなら常識だけどなｗ
工学部の複素解析っていったい何教えてんの？ｗｗｗ
＃セタはεδの次は、座標系の被覆による多様体の定義にイチャモンつけそうだなｗ
122(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/14(火) 00:19:30.45 ID:vq8RyVMN(1/9) AAS
>>102
これ、「４３ フェルマーの最終定理」
http://www7a.biglobe.ne.jp/~paco_poco/hakusouroku/pdf/43_fermat.pdf
中のポアンカレ予想の説明の話だが、もう少し正確に書くと
誤：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『3 次元空間において、破れた穴の空いていない複雑な形をした立体』、
「短連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』、
「3 次元球面 S^3に同相」とは『3 次元の球そのものである』ということである。
↓
正：
「単連結な 3 次元閉多様体は 3 次元球面 S^3に同相である」ポアンカレ予想
（注１）
これは、位相幾何学（トポロジー）の問題である。
「3 次元閉多様体」とは『3 次元以上の空間において、”破れて穴の空いて”いない（閉じた）局所3次元ユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）』
「単連結」とは『輪になった紐を縮めていって 1 点にすることができるというような意味』
「3 次元球面 S^3」とは『4次元ユークリッド空間中の4次元球体の境界を成す3次元の多様体』
「同相」とは、『2つの多様体x,yの間に同相写像が存在する』ということである。
かな（＾＾；
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93
多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2
三次元球面
四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。
通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。
つづく
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