[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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100(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 07:51:57.07 ID:/6i4k5qr(3/12) AAS
>>99
補足
(引用開始)
３次方程式 x^3＋a x^2＋bx＋c＝0 の３つの根をα，β，γとすると、
この方程式の判別式Ｄは、
Ｄ＝〔(β−α)(γ−β)(α−γ)〕^2である。
判別式とはその方程式がどのような根（実根，虚根，重根）
を持つのかを判別するためのもので、
フライ曲線の判別式は
α→0，β→ａ^n，γ→−ｂ^n から、
Ｄ＝〔ａ^n･ｂ^n･(ａ^n＋ｂ^n)〕^2、
ａ^n＋ｂ^n＝ｃ^n だから
Ｄ＝(ａ^n･ｂ^n･ｃ^n)^2＝(ａｂｃ)^2^nとなる。
つまり、判別式は自然数ａｂｃの 2n 乗である。
(引用終り)
ABC予想では、ｎ＝1だから
Ｄ＝(ａ･ｂ･ｃ)^2＝(ａｂｃ)2^となる
だから
y^2＝x(x−a)(x＋b) （楕円曲線）から出発して、
その判別式Ｄから
ａ＋ｂ＝ｃ が出てきて
ABC予想の式 と関連がつく
107(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/12(日) 17:13:02.17 ID:/6i4k5qr(8/12) AAS
>>100
>この方程式の判別式Ｄは、
>Ｄ＝〔(β−α)(γ−β)(α−γ)〕^2である。
方程式論をやれば常識だが（いまどきの大学数学科では上滑りかもね）
”(β−α)(γ−β)(α−γ)”は、差積でね
そして、差積の二乗が、判別式になるんだ
（いまの場合、3次多項式で、３次の係数（をaとして） a=1 も効いている）
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E7%A9%8D
差積
注意
この多項式が項の順番によって変化することに注意すべきである。すなわち、差積は交代式であって対称式でない。[注釈 1]
交代多項式
詳細は「交代式」を参照
差積を定義づける著しい性質はその変数の入れ替えに関する交代性である。つまり、変数 Xi たちのなす順序付けられた n-組に、奇置換を施したときには差積の符号が変わるが、その一方で偶置換を施しても差積の値は変化しない。実は差積は、もっとも単純な交代式（最簡交代式; the basic alternating polynomial) として特徴づけられる（後述）。
判別式
詳細は「判別式」を参照
差積の平方は（等しいものがあるかどうかを判別する）判別式として広く知られる（が、差積自身を判別式とする文献もある[要出典]）。
(-1)^2 = 1 に注意すれば、差積の平方である判別式 Δ := Vn^2 は、変数の入れ替えによって変化しない対称式であることは明らかである。すなわち、差積は与えられた変数の集合（非順序組）に対して定まる不変式となる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%A4%E5%88%A5%E5%BC%8F
判別式
実数係数の代数方程式の実数解の個数は、二次方程式では、判別式の符号が正か零か負かにより2個、1個（重複度2）、0個と判別できるが、三次の場合にはそれぞれ3個、2個（片方は重複度2）あるいは1個（重複度3），1個となる。 このように三次以上では、判別式以外にも指標となる式が必要となる（詳しくは、三次方程式#解の様子、四次方程式#解の様子などを参照）。
"discriminant"（判別式） という用語は1851年にイギリス人数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスター (James Joseph Sylvester) によって造り出された[3]。
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