[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)

IUTを読むための用語集資料集スレ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/

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41: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/26(金) 06:45:35.87 ID:zl2qUDG1 >>40 "Hodge Arakelov 基本定理 ガウス積分" https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%83%E3%82%B8%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%A9%E3%82%B1%E3%83%AD%E3%83%95%E7%90%86%E8%AB%96 ホッジ・アラケロフ理論 楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論は、アラケロフ理論（英語版）(Arakelov theory)のフレームワークで考える p-進ホッジ理論（英語版）(p-adic Hodge thory)の楕円曲線についての類似理論である。ホッジ・アラケロフ理論は、 Mochizuki (1999) で導入された。 望月の主要な結果であるホッジ・アラケロフ理論の比較定理は、（大まかには）標数 0 の滑らかな楕円曲線の普遍拡大上の次数が d 未満の多項式の空間は、自然に d-捩れ点上の函数の d^2-次元空間に（制限によって）同型となるという定理である。 ド・ラームコホモロジーを複素多様体の特異コホモロジーや、p-進多様体のエタール・コホモロジーに関連付けるコホモロジー論の比較定理のアラケロフ理論の類似物である。 Mochizuki (1999) と Mochizuki (2002a)で、彼は数論的小平・スペンサー写像やガウス・マーニン接続（英語版）(Gauss-Manin connection)が、ヴォイタ予想やABC予想などに重要なヒントを与えるのではないかと指摘している。 Mochizuki, Shinichi (2002a), “A survey of the Hodge-Arakelov theory of elliptic curves. I”, in Fried, Michael D.; Ihara, Yasutaka, Arithmetic fundamental groups and noncommutative algebra (Berkeley, CA, 1999), Proc. Sympos. Pure Math., 70, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 533?569, ISBN 978-0-8218-2036-0, MR1935421 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/A%20Survey%20of%20the%20Hodge-Arakelov%20Theory%20of%20Elliptic%20Curves%20I.pdf A Survey of the Hodge-Arakelov Theory of Elliptic Curves I Shinichi Mochizuki October 2000 §1.5. Future Directions §1.5.1 Gaussian Poles and Diophantine Applications つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/41

42: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/26(金) 06:46:07.90 ID:zl2qUDG1 >>41 つづき In some sense, the most fundamental outstanding problem left unsolved in [Mzk1] is the following: How can one get rid of the Gaussian poles (cf. §1)? For instance, if one could get rid of the Gaussian poles in Theorem A, there would be substantial hope of applying Theorem A to the ABC (or, equivalently, Szpiro’s) Conjecture. Section 2: The Theta Convolution In fact, returning to the theory of the Gaussian on the real line, one may recall that one “important number” that arises in this theory is the integral of the Gaussian (over the real line). This integral is (roughly speaking) √π. On the other hand, in the theory of [Mzk2], Gaussians correspond to “discrete Gaussians” (cf. [Mzk2], §2), so integrals of Gaussians correspond to “Gauss sums.” That is to say, Gauss sums may be thought of as a sort of discrete analogue of √π. Thus, the appearance of Gauss sums in the theory of [Mzk2] is also natural from the point of view of the analogy of the theory of [Mzk1] with the classical theory of Gaussians and their derivatives (cf. §1.2). (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/42

43: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/26(金) 07:30:43.23 ID:zl2qUDG1 参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0 p進数 (抜粋) 有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば p 進量子力学を参照）。 「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。 なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法（2進法）やその結果得られる記号列（2進列）も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/43

44: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2020/06/26(金) 07:32:59.17 ID:zl2qUDG1 >>43 つづき 概要 有理数体 Q から実数体 R を構成するには、通常の絶対値の定める距離 d∞(x, y) = | x - y | に関して有理数体を完備化するのであった。 それに対し、p 進付値より定まる距離（p 進距離）dp によって有理数体を完備化したものが p 進数体 Qp である。p 進数と実数は異なる特徴を持つ別々の数体系である一方で、数論においては極めて深い関係を持つ対象であると捉えられる。 有理数から実数を構成する過程は、小数展開に循環しない可算無限桁を許すことを意味する。 p 進数体 Qp における小数展開の類似物は p 進展開である。p 進数の中で考えた有理数は p の高い冪を因数に含めば含むほど小さいと考えられ、p 進数の p 進展開は、p 進整数（ぴーしんせいすう、p-adic integer）を可算無限桁の整数と捉える見方を与える。 これにより、実数の場合と並行して、p 進数は有理数の算術まで込めた拡張であることを見ることができる。 実数体 R と p 進数体 Qp をひとまとまりにしたアデールの概念が扱われることもある。 有理数体のアデール AQ は簡単に言えば、実数体 R と全ての素数 p にわたる p 進数体 Qp との位相まで込めた直積である。 有理数体 Q はそのアデール AQ のなかに（対角線に）埋め込むことができる。 有理数体をアデールに埋め込んで考えることは、有理数体を素数（と無限遠）を点とする空間 Spec Z 上の代数関数体として捉えるという視点を与える。 ここでは、Qp は有限素点 p における局所的な振る舞いを、R は無限遠での振る舞いを表すものとして並行に扱われる。このような解析的な取り扱いにおいては、p 進展開はテイラー展開の類似物であると考えられる。 実数体と p 進数体は有理数体の完備化であるが、一般の代数体でも同様の完備化が考えられる。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592654877/44

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