[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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459(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 14:08:24.01 ID:qg6YAvVW(1/6) AAS
”Θ-link”関連情報、ご参考まで
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11122532291
yahoo
blacknoteさん2014/3/1521:27:05
京大の望月さんの論文をかみ砕いて教えてください。
(抜粋)
ベストアンサーに選ばれた回答
yok********さん 編集あり2014/3/1600:39:37
私もさっぱりわかりませんが、望月先生の『宇宙際タイヒミュラー幾何学へのいざない』によると、p進やCのような局所体上のテイト曲線では素数lに対し（完全列によって）乗法的部分群と生成元がとれますが、数体のような大域体上の楕円曲線ではlの性質によってはそれができません。しかし数体上の自己同型をあるやり方でうまく定義することができると、楕円曲線のモジュライの対数微分の高さというものがある定数で抑えられ、ABC予想を得るということです。
これをそれぞれ別のスキームにあるものとして分け（同じスキームのコピーみたいなものですが）、あたかもリーマン面の間の擬等角写像のようにみなして定義したい（Θ-link）とのことですが、このΘ-linkというものはもはや環としての準同型にはなれないので、環やスキームを解体してその歪みを計算しないといけないそうで、その内容が宇宙際タイヒミュラー理論と呼ばれるものだそうです。
log-linkやΘ-linkというものはもはや抽象的な位相群としてしか向こう側のスキームには影響を与えないので、それには絶対遠アーベル幾何やエタールテータ関数などを使った議論が必要になるとのことです。
NHKのみんなのうたで「そっくりハウス」というアニメがあるのですが、これは宇宙際タイヒミュラー理論をアニメ風に表現しているとみることができて、少女の目(Θ-link)の中に入ると、くるくると回転しながら別のそっくりな世界に行く（リンクしている）ことを表現しています。
いずれにしろスキームという古典的な代数幾何学を飛び超え、21世紀の新しい数論幾何学が今まさに始まろうとしているのでしょうか。
私もわからないので全然間違ってたらすいません…。
つづく
460(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 14:08:51.39 ID:qg6YAvVW(2/6) AAS
>>459
つづき
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai.pdf
宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い
望月新一（京大数理研）
(抜粋)
Ｐ7
§3. 対数・テータ格子
（このページの対数・テータ格子図で、 →が= Θ-link（因みに↑が = log-link））
Ｐ8
Θ-Link:
数体 F の bad nonarch. な v において Θ-link の両側（＝定義域と値域）の
それぞれの 環構造 は、環準同型とならない（！）形で関連付けられる：
ポイント: Θ-link は、両側の局所体の絶対ガロア群 Gv の間の同型
Gv ^→ Gv
と、それぞれの Oxk への作用に関して 両立的 である。また数体 F の good
nonarch./arch. な v においても 積公式 を満たすように、Θ-link を類似的な
手法で定義する。
注: 「抽象的なモノイド 等」を扱うようにしないと、log-, Θ-link のような
（通常の環・スキーム論の 環構造 に対する）「壁＝障壁」を定義することすら
できない！
P10
§4. 宇宙際性と遠アーベル幾何
log-link 及び Θ-link
logv: k×→ k, Θ|l-tors ={qj^2}j=1,... ,l* → q
は、定義域・値域の 環構造 と 両立しない ため、環構造 から生じる スキーム
論的な 「基点」や、
ガロア群 （ ⊆ Autfield(k) ！！ ）
と、本質的に両立しない！ つまり、log-, Θ-link の「向こう側」に移行する
とき、
“Πv” や “Gv”
は、抽象的な位相群 としてしか、「向こう側」のスキーム論に通用しない！
=→ 定義域・値域双方の環構造の間の関係を計算するためには、遠アーベル幾何
を活用するしかない！過去の論文のレベルでいうと、
絶対遠アーベル幾何 や エタール・テータ関数の様々な剛性性質
に関する
主定理： Θ-link の 左辺 に対して、軽微な不定性を除いて、右辺 の「異質」
な 環構造 しか用いない言葉により、明示的なアルゴリズムによる記述を与え
ることができる。
つづく
461(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 14:09:13.01 ID:qg6YAvVW(3/6) AAS
>>460
つづき
https://plaza.rakuten.co.jp/shinichi0329/diary/202001050000/
新一の「心の一票」
2020.01.05XML
宇宙際タイヒミューラー理論（IUTeich）の論文を巡る現状報告： 「数学界に出現している悲惨なブラックホールの物語」
(抜粋)
IUTeichでは、以前のブログ記事（＝2017.01.06, 2017.05.06, 2017.11.14付けの記事を参照）でも解説した通り、「Θ（テータ）リンク」という数学的対象は中心的な役割を果たします。実際のΘリンクの定義は非常に高度な数学の知識を必要とするものですが、ここでは上述の「大元誤解」の本質的な論理構造を解説するため、先ほどの4つの整数しか出てこない、高校数学レベルの議論で説明することにしたいと思います。そのようにしますと、Θリンクの定義に対応するものは
(N=-2B) ∧ (N=-A)
という式になります。理論では、Θリンクから出発して様々な操作を行ない、（Θパイロットと呼ばれる数学的対象の）「マルチラディアル表示」というものを構成します。その「マルチラディアル表示」に対応する内容をこちらの議論の整数で表現しますと、
(N=-2A+ε) ∧ (N=-A)
という式になります。つまり、「ε」という、比較的小さい「誤差」を認めてあげますと、本来一致するかどうか分からない整数 A と B を、まるで一致するものかのように扱うことができるということです。この「マルチラディアル表示」の内容を書き下してみると、まさに同一の整数 A に対して、論理演算子「∧」が成立していることによって、
-2A+ε=-A, つまり、A=ε< 3
という式変形が可能になり、この議論の最終的な結論となる「A<3」という不等式が簡単に、形式的に従ってしまいます。
?先ほどの議論で注目したいことは、
論理演算子「∧」が
果たした本質的な役割
です。
つづく
462(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 14:10:28.12 ID:qg6YAvVW(4/6) AAS
>>461
つづき
元々のΘリンクの定義における「∧」は、一致するとは限らない整数 A と B を用いたからこそ、整合性（＝「無矛盾性」）をもって定義することができました。これは先ほどの「Xの誕生日...」∧「Yの誕生日...」と全く同じ現象です。元々のΘリンクの定義が「∧」によるものであるこそ、その肝心な「∧」性を壊さないような操作によって行なわれる「マルチラディアル表示」の構成は「∧」性を引き継ぐことになります。また「マルチラディアル表示」において「∧」性が成立しているからこそ、議論の最終的な結論となる「A<3」という不等式が簡単に、形式的に従ってしまうのです。
一方で、（ここから先が、先ほどの喩えの「2+2=9」に対応する「大元誤解」の内容になりますが）例えば、元々のΘリンクが、何かの理由によって
(N=-2B) ∨ (N=-A)
として認識（＝誤認！）されたとします。すると、まず、整数 A と B が、一致するとは限らないものであることを仮定することには全く意味がない、つまり、最初から「A=B」ということにしても、整合性（＝「無矛盾性」）の問題は全く発生しないのではないかと考えてしまいます。これは先ほどの「Xの誕生日...」∨「Xの誕生日...」と全く同じ現象です。
しかし、最初から「A=B」ということにして、Θリンクの定義も
(N=-2A) ∨ (N=-A)
ということにすると、「マルチラディアル表示」に移行する際、（「∧」ではなく！！）「∨」を引き継ぐことになり、つまり、
(N=-2A+ε) ∨ (N=-A)
という恰好の「∨版マルチラディアル表示」しか従わないことになってしまいます。
つづく
463(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 14:10:50.61 ID:qg6YAvVW(5/6) AAS
>>462
つづき
このように考えると、実際の「マルチラディアル表示」に登場する、肝心な「∧」性を壊さないための数々の丁寧な細かい操作は全く無意味なもののように見えてしまいます。
その上、最初から「A=B」ということにしてもよい状況の下で議論しているからこそ、そもそも「∨版マルチラディアル表示」（＝「ε」という誤差を認めることによって本来一致するかどうか分からない整数 A と B をまるで一致するものかのように扱うことを可能にする表示）は全く無意味なものであるようにしか見えません。一方で、このように、「∨」、「∨」、「∨」で議論していると、議論の最終的な結論となる「A<3」という不等式を発生する式
-2A+ε=-A
は、まるでΘリンクや「マルチラディアル表示」の「∨版」に登場する
「∨」が、とんでもない「詐欺的な
論法」によって「∧」に勝手にすり
替えられたことによって導かれた
ようにしか見えません。
つづく
464: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 14:11:30.68 ID:qg6YAvVW(6/6) AAS
>>463
つづき
ここでは、高級な数学的対象を用いる代わりに高校数学レベルの整数を扱う式を使って解説しましたが、上述の議論のように、本来のIUTeichの
??論理構造の根幹を成している
「∧」、「∧」、「∧」が、
「∨」、「∨」、「∨」と
誤認されてしまったことが、
（＝上述の「大元誤解」）この7年半程続いたIUTeichを巡る（海外の数学界を震源地とする）大きな混乱（＝つまり、理論がとんでもない「詐欺的な論法」の上に成り立っているとの誤解等）の真相であると考えています。
(引用終り)
以上
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