[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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93(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/11(土) 11:20:38.39 ID:PRf3fy9U(1/3) AAS
>>87
『ABC予想入門』（黒川、小山 PHPサイエンス・ワールド新書 2013）
P201 に引用のスピロ予想関連文献 ２つ
（Asterisque 掲載分）
http://www.numdam.org/item/AST_1990__183_/
Seminaire sur les pinceaux de courbes elliptiques (a la recherche de ≪Mordell effectif≫)
Spziro Lucien (ed.)
Asterisque, no. 183 (1990) , 146 p.
http://www.numdam.org/article/AST_1990__183__7_0.pdf
L. SZPIRO
Discriminant et conducteur des courbes elliptiques
Asterisque, tome 183 (1990), p. 7-18
<http://www.numdam.org/item?id=AST_1990__183__7_0>
http://www.numdam.org/article/AST_1990__183__19_0.pdf
D. W. MASSER
Note on a conjecture of Szpiro
Asterisque, tome 183 (1990), p. 19-23
<http://www.numdam.org/item?id=AST_1990__183__19_0>
96: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/11(土) 19:45:09.94 ID:PRf3fy9U(2/3) AAS
楕円曲線、判別式 Δ:=-16(4a2-27b2)
http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_points_of_elliptic_curve/
数理女子
楕円曲線の有理点
楕円曲線と有理点
Q
上定義された楕円曲線とは、
a1, a2,…,a6∈Q
に対し、
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6
で表される曲線です。ただし2次曲線の場合と同様、退化する場合は除いておきます。 この曲線は
y2=x3+ax+b,(a,b∈Q)
という形の標準形へ持って行くことができることが知られています。このとき、 退化するのは「右辺=0」という方程式が重根を持つ場合、
つまり判別式
Δ:=-16(4a2-27b2)が0
となるときです。上の方程式で表される楕円曲線を
Eと書き、 その有理点全体の集合を
E(Q)
と記します。ただし無限遠点を１つ余分に付け加えておきます。 すなわち、
E(Q):={(x,y)∈Q2?y2=x3+ax+b}∪{∞}
とします。
Mordellの定理とBirchとSwinnerton-Dyer予想
以上の考察から、楕円曲線の有理点は二次曲線の場合とは異なり、有理点の数が有限個だったり無限個だったりと複雑な振る舞いをしていることが分かります。 これに関して、以下の大事な結果が知られています。
Mordellの定理
E(Q)
は、有限個の有理点
P1,…,Pn
から上記の操作で生成される。
与えられた楕円曲線の有理点の個数の大きさを予想しているのがBirch and Swinnerton-Dyer予想です。
Birch and Swinnerton-Dyer予想（BSD予想）は、楕円曲線の有理点の大きさが、
L関数と呼ばれる関数で記述されると予想しています。 この予想は、幾何学的な対象の数論的な情報と
L関数の関係を調べるという、整数論と呼ばれる数学分野の中心的なテーマの１つであり、今後取り組むべき重要な７つの問題としてクレイ数学研究所により選ばれたミレニアム懸賞問題の１つでもある、とても大切な問題です。
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/Galois_fest_ito_200705.pdf
・「楕円曲線の数論幾何」伊藤哲史先生（京都大学）のスライド
97: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/11(土) 21:43:46.11 ID:PRf3fy9U(3/3) AAS
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
楕円曲線
実数体上の楕円曲線
実平面上、楕円曲線は次の方程式により定義される平面曲線としてあらわされる。
y^2=x^3+ax+b
ここに a と b は実数である。
楕円曲線の定義は、曲線が非特異であることも要求される。幾何学的には、このことは曲線のグラフが尖点を持たず、自己交叉せず、孤立点ももたないことを意味する。代数的には、非特異とは判別式
Δ =-16(4a^3+27b^2)
と関係している。曲線が非特異であることと、判別式が 0 でないこととは同値である。（係数 -16 は、非特異であることと無関係に見えるが、楕円曲線の高度な研究ではこのようにしたほうが便利である。）
非特異楕円曲線の（実数の）グラフは、判別式が正であれば、二つの曲線の成分を持ち、負であれば、一つの曲線の成分しか持たない。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/ECClines-3.svg/335px-ECClines-3.svg.png
曲線 y^2 = x^3 - x と y^2 = x^3 - x + 1 のグラフ
例えば、図で示されているグラフでは、図中の左は判別式が 64 であり、図中の右は 判別式が -368 である。
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