[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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189: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/22(水) 15:17:04.07 ID:FY5qB3HE(1/5) AAS
SS Peter Scholze and Jakob Stix
は、Taylor Dupuy氏のarXive投稿で、しっかり否定されていますよ
ショルツの軍門？
そんなもの Taylor Dupuy氏が、ぶち壊しました（＾＾
（参考）
https://www.uvm.edu/~tdupuy/papers.html
[ Taylor Dupuy's Homepage]論文集
https://arxiv.org/pdf/2004.13108.pdf
Date: April 30, 2020.
The Statement of Mochizuki's Corollary 3.12, Initial Theta Data, and the First Two Indeterminacies, (with A. Hilado)
(抜粋)
P14
Remark 3.8.3. (1) The assertion of [SS17, pg 10] is that (3.3) is the only relation between
the q-pilot and Θ-pilot degrees. The assertion of [Moc18, C14] is that [SS17, pg 10] is
not what occurs in [Moc15a]. The reasoning of [SS17, pg 10] is something like what
follows:
(a)〜(g)略
(2) We would like to point out that the diagram on page 10 of [SS17] is very similar to
the diagram on §8.4 part 7, page 76 of the unpublished manuscript [Tan18] which
Scholze and Stix were reading while preparing [SS17].
(3) As of August 1st 2019, the documents above can be found at http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTch-discussions-2018-03.html.
We note that there is also the review [Rob 3] which some may find interesting.
[SS17] Peter Scholze and Jakob Stix, Why abc is still a conjecture., 2017. 1, 1, 1e, 2, 7.5.3
(引用終り)
以上
190(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/22(水) 15:49:56.91 ID:FY5qB3HE(2/5) AAS
"代数曲線の素数pによる還元"
（参考）
https://ameblo.jp/einstein-1879-314/entry-11156612498.html
私は私の備忘録 2012/02/05
フェルマーの最終定理 ３： フライ曲線の準備
(抜粋)
"代数曲線の素数pによる還元"という言葉を定義する必要があります。
Z上の代数曲線F(x,y)=0の素数pによる還元とは、その曲線をZ/pZ（補足参照）で考える事をいいます。
例として、次のＺ上の楕円曲線（係数がＺ（整数）であるような楕円曲線）
y^2=x(x-1)(x-2)
があったとします。これを素数２で還元するとx-2=x (mod 2)となるので
y^2=x^2(x-1)
となってしまい右辺が重解を持つことが分かります。
この例からも分かるように、元々楕円曲線だったとしても素数pによる還元をとったとき、楕円曲線のままでいられるとは限りません。
しかも、Z上の楕円曲線は
y^2=a(x-b)(x^2+cx+d)
や
y^2=a(x-b)(x-c)(x-d)
等となるので、必ずある素数pの還元で潰れてしまいます。そこでその潰れ度合いを定義する言葉を用意する必要があります。それが素数pによる還元に対する安定性です。
楕円曲線がある還元によって
１ 重解を持たないとき、よい還元
２ 二重解になってしまうとき、乗法的還元
３ 三重解になってしまうとき、加法的還元
と呼び、全ての素数pによる還元で悪くとも乗法的還元となるとき、その楕円曲線は半安定であるといいます。
つまり、全ての素数pによる還元で楕円曲線が潰れる可能性はあるけれど、ぺっちゃんこに潰れないとき半安定であるといいます。
つづく
191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/22(水) 15:50:25.21 ID:FY5qB3HE(3/5) AAS
>>190
つづき
楕円曲線の判別式について：
次に楕円曲線の判別式ですが、これは簡単で方程式f(x)=0の判別式です。f(x)は三次式なのでその判別式Dは三つの解α、β、γを用いて
D={(α -β )(β -γ )(γ -α ) }^2
です。
ここまで準備すれば後は簡単ですが話が長くなってしまったので続きはまた次回に。
Z/pZについて補足：
Zは整数全体の集合を表すこととします。
Z/pZとは整数全体の集合をある整数pで割り算したときの"余りで分類"した世界です。Z/pZの世界では"全ての整数はpで割ったときのあまりの数が同じとき同じ"と見做されます。
例えばZ/3Zならば５は５として見られるのではなく
５÷３＝１あまり２
ということで２だと見做します。このことを
５≡２ (mod 3)
と書き２と５は３を法として合同であるといいます。つまり、この世界では２も５も同じだと考えるということです。
即ち、Z/pZにおいて２つの整数ｎとｍが合同であるとは、nをpで割ったときのあまりとmをpで割ったときのあまりが同じである事とし、
n≡ｍ (mod p)
と表す。
全ての整数は整数pで割り算したとき、そのあまりは、
0,1,2,..,p-1
となりますから、Z/pZの要素はこのp個の数だけということになります。
(引用終り)
以上
192: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/22(水) 15:57:30.69 ID:FY5qB3HE(4/5) AAS
"代数曲線の素数pによる還元"
（参考）
https://ameblo.jp/einstein-1879-314/entry-11156615936.html
私は私の備忘録 2012/02/05
フェルマーの最終定理 ４： 言い換えの証明
(抜粋)
y^2=x(x-a^2)(x+b^2)
は右辺=0が重解を持たないため楕円曲線となる・・・?
（楕円曲線の定義：曲線y^2=f(x)（f(x)=xの三次式）はf(x)=0が重解を持たないとき楕円曲線と呼ぶ。）
更に右辺=0の解が互いに素であるためこれは任意の素数pの還元により半安定になることが分かる・・・?
（素数pによる還元とは曲線をZ/pZで考えるという事であり（詳しくは３の補足参照）、即ちその世界ではa=b+np（nは任意の整数）が成り立つ。
更に、半安定な楕円曲線とは、全ての素数pの還元により楕円曲線の解が重解を持つことになることがあるがその重解は高々２重解にしかならない、と定義される。）
?、?、?により
フェルマー方程式が自然数解を持つ ⇒ 半安定でその判別式が自然数の２乗数となるような楕円曲線（フライ曲線）が存在する
ということがいえた。(Q.E.D)
次回以降の流れを改めて記しておきましょう。
リベの定理は"フライ曲線はモジュラーにより一意化できない"ということを主張する
更に谷山志村予想では"全ての楕円曲線はモジュラーにより一意化できる"ことを主張する
リベの定理と谷山志村予想は互いに矛盾する
従ってフライ曲線は存在せずその同値な命題であるフェルマー定理が偽である事は偽となりフェルマー定理は真となる
という流れになります。
随分すっきりしてきたのではないでしょうか？
(引用終り)
193: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/22(水) 17:27:26.59 ID:FY5qB3HE(5/5) AAS
"代数曲線の素数pによる還元"
（参考）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和 (かしお ともかず, Kashio Tomokazu) のページ
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2017_Formal_Group.pdf
形式群の入門的な授業のレジュメ (2017年度)
代数学特論3 加塩 朋和
(抜粋)
4 楕円曲線
4.4 Q 上定義された楕円曲線の L-関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.2 Z 係数多項式で定義される楕円曲線の還元 . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4.3 楕円曲線の L 関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
P34
4.4.2 Z 係数多項式で定義される楕円曲線の還元
定義 45. Z 係数の一般 Weierstrass 方程式で定義される楕円曲線
E : y^2 + a1xy + a3y =x^3 + a2x^2 + a4x + a6 (ai ∈ Z, Δ(E) ?= 0)
を考える. E の 素数 p での還元 とは, Fp 上定義される代数曲線
E￣ : y^2 + a1xy + a3y = x^3 + a2x^2 + a4x + a6
のことである.
E￣ が楕円曲線のとき, E は p で良い還元を持つ といい,
そうでないとき 悪い還元を持つ という.
よって, Z 係数の (一般 Weierstrass) 方程式で定義される楕円曲線に関して, その判別
式が小さければ小さいほど (正確には素因数分解に現れる素数が少ないほど), 多くの p に
関して良い還元を持つことが分かる. そして, 楕円曲線がより多くの p に関して良い還元
をもつということは, その楕円曲線の “数論的データ” をより多く取り出せることを意味
する.
4.4.3 楕円曲線の L 関数
楕円曲線 E に付随する L 関数 が
L(s, E) := ?p(1 ? app^?s + 1Δ(p)p^(1?2s))^?1
で定義される. ただし modΔ の自明指標を 1Δ(p) で表した.
注意 50. 楕円曲線の性質から直接的には 解析接続 (と関数等式) は導けない. これらは志
村谷山予想などと呼ばれる, 大きな理論と繋がる.
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